3.5.1. Оценка факторных нагрузок методом максимума правдоподобия

Ограничимся кратким изложением сущности метода. Более подробное описание метода максимума правдоподобия имеется в книгах Лоули [182; 1, 2], Лоули и Максвелла [183], а также Хармана [117] и Рао [230; 3]. Предполагается, что наблюдаемые переменные нормально распределены, а общие факторы ортогональны. В основе метода лежит фундаментальная теорема (2.27), т. е. ее выражение Задача состоит в нахождении по выборочной корреляционной матрице R состоятельных и эффективных оценок неизвестных параметров в матрицах А и для генеральной совокупности. Следствием предположения о независимости общих и характерных факторов и распределения их по нормальному закону является многомерное нормальное распределение изучаемой совокупности. Для определения максимально правдоподобных оценок максимизируется функция правдоподобия. Это приводит к большому числу возможных результатов. Из них выбирается тот, который удовлетворяет условию, что

является диагональной матрицей. Это условие соответствует требованию метода главных факторов о том, что каждый фактор должен учитывать максимум дисперсии. Благодаря этому устанавливается система координат и исключается произвол во вращении системы факторов. Равенство (3.33) приводится к виду, удобному для практического решения (вывод имеется, например, у Лоули и Максвелла):

Кроме того, имеет место равенство:

Исходя из более или менее произвольно взятых первых приближений для А и в правой части (3.34), в левой части этого равенства получают новую матрицу А, а из (3.35) — и новую матрицу которые можно рассматривать как хорошие приближения к истинным матрицам. Эти полученные матрицы опять подставляются в (3.34) и (3.35), и итератйвная процедура повторяется. Процесс сходится очень медленно и бывают случаи, когда достигают малой разности между последовательными итерациями, но все еще находятся далеко от истинных значений.

Кроме того, имеются корреляционные матрицы, для которых Итерационный процесс не сходится. Желательно вычисления начинать с наилучших из имеющихся оценок А и так как цикл итераций в этом случае значительно сократится. Например, в качестве начальных условий могут быть использованы центроидные оценки. Итеративную процедуру решения уравнения (3.34) можно рассматривать в качестве особого способа определения собственных значений и собственных векторов матрицы причем А содержит собственные векторы, а диагональная матрица — собственные значения этой матрицы. Соответствующий тест проверки значимости числа факторов приведен в 3.3.4.

Вышеупомянутая вычислительная процедура может остаться неясной для неподготовленного читателя. С более подробным изложением метода и соответствующими математическими выкладками можно ознакомиться в оригинальных работах. Числовой пример, иллюстрирующий вычисления по методу максимального правдоподобия, имеется также в книге Лоули и Максвелла [183]. Следует указать на один важный момент при оценке факторных нагрузок этим методом: результирующие факторы инвариантны относительно изменений масштаба переменных.