2.5. МЕСТО ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА СРЕДИ МНОГОМЕРНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

Говорят о многомерных статистических методах, когда каждый индивидуум или объект характеризуется значениями многих подлежащих измерению переменных и все эти величины рассматриваются в статистическом анализе одновременно для целого ряда индивидуумов и оцениваются совместно. Такие методы по самым различным причинам приобретают все большее значение. Совершенно очевидно, что одновременная оценка нескольких переменных в целом позволяет сделать более четкие и более полные выводы, чем рассмотрение только одной переменной. Обзор многомерных стандартных методов имеется у Кендэла [172] или у Кендэла и Стьюарта [173]. Андерсон [5; 4] дает математическое обоснование многомерных методов при условии нормальности распределений,

В этой вводной части не ставится цель дать полное и систематическое описание признаков, позволяющих установить четкие границы между факторным анализом и другими многомерными методами. Однако для более глубокого понимания самого факторного анализа полезно рассмотрение его на фоне некоторых других методов, даже если этот фон обрисован не очень четко. Далее обсуждаются цели и основные постановки задач отдельных методов, безотносительно к их математическим обоснованиям, сходству и различиям в формулировках. Постараемся обрисовать хотя бы в общих чертах место факторного анализа среди этих методов, насколько это возможно.

Кендэл [172; 3] указывает в качестве исходной позиции при разграничении многомерных методов различия в понятиях «зависимость» и «взаимозависимость» (dependence and interdependence). Имеется в виду зависимость одной или нескольких переменных от остальных. Конкретная постановка вопроса позволяет определить, что является результативной и факторной величиной. Самым простым примером теории, занимающейся исследованием зависимости, является регрессионный анализ. Кендэл сюда же относит дисперсионный и ковариационный анализ. В противоположность этому под взаимозависимостью понимается исследование связей между несколькими переменными без выделения результативных и факторных величин. Сюда относится корреляционный и ассоциативный анализ, анализ функциональных связей, компонентный и факторный анализ. Дискриминантный анализ и вычисление канонических корреляций нельзя отнести ни к одному из этих видов анализа. Разграничение зависимости и взаимозависимости связано с трудностями, присущими любой схематизации. Разница между ними определяется направленностью вопроса. По сути доказательство различия между ними идентично доказательству связи их друг с другом.

Вначале ставился вопрос: является ли факторный анализ вообще статистическим методом? Так как факторный анализ исходит из коэффициентов корреляции, его следует считать статистическим методом. Однако определение главных компонент корреляционной матрицы является вычислительной абстракцией, которая не распространяется на генеральную совокупность. Но аналогично определение среднего значения и регрессионной прямой тоже является вычислительной процедурой, осуществляемой по определенному алгоритму. Такое представление данных через среднее значение, регрессионную прямую, а также главные компоненты является уже одной из статистических задач.

Распространение вывода по результатам опыта на генеральную совокупность во многих задачах факторного анализа молчаливо проводится без оценки точности факторного отображения. В противоположность этому, например, при вычислении среднего значения и регрессионной прямой обычно оценивают точность их определения и используют систему критериев с определенной заранее вероятностью ошибки. Статистические соображения повсюду присутствуют также в факторном анализе, например при определении числа факторов, подлежащих выделению, при определении общностей, при вращении (критерий Баргмана) или при оценке значений факторов. Определение факторных нагрузок в максимально правдоподобном решении Лоули и так называемый канонический факторный анализ Рао являются статистическими методами. Оценка значимости остаточной корреляции после выделения факторов производится по статистическим критериям. В настоящее время факторный анализ можно излагать на основе математико-статистических концепций, как это и делают, например, Лоули и Максвелл. При изучении такого материала читатель с невысоким уровнем подготовки неизбежно встретится с определенными трудностями. Поэтому обычно предпочитают наглядный и эмпирический способы изложения, а там, где это необходимо, прибегают к статистическим рассуждениям. Такой подход соответствует также становлению факторного анализа в историческом аспекте. Современный уровень его развития со всей очевидностью показывает, что факторный анализ относится к многомерным статистическим методам. Далее факторный анализ сравнивается с четырьмя известными многомерными методами, чтобы показать разницу в постановках задач.