5.5.2. Косоугольный метод

В случае ортогональных факторов при применении аналитических методов вращения отдают предпочтение варимакс-критерию, как наиболее эффективному. При косоугольных факторах мы не можем однозначно указать аналогичный критерий. Разработано несколько аналитических методов получения косоугольного решения, но ни один из них не дает основания утверждать, что он приводит к наилучшим результатам. Кроме критериев, которые в принципе являются обобщением критериев, приведенных в предыдущей главе, имеется так называемый метод максплейн (maxplane-programm) Каттелла и Мюрля, реализованный на ЭВМ Эбером. Он близок к итеративным процедурам вращения, осуществляемым с помощью графиков. Часто пользуются так называемым методом облимакс (Oblimax-rotation) Саундерса [249; 2].

С помощью облимакс-критерия исходя из матрицы приходят в результате вращения к матрице (см. табл. 5.9).

Матрица содержит коэффициенты корреляции между переменными и вторичными осями. Вращение производится так, чтобы значение критерия достигало максимума:

Критерий (5.35) указан в том первоначальном виде, в каком он был получен Саундерсом [249; 2]. В ортогональном случае критерий К эквивалентен формулам (5.30) или (5.31), так как знаменатель инвариантен относительно ортогонального преобразования. В случае косоугольного решения для К выписывается полное выражение и оговорка насчет знаменателя недействительна. При работе с этим критерием программа построена так, что вращение производится последовательно в каждой плоскости до достижения наибольшего значения К Для любой пары осей, и постепенно все значение функции (5.35) достигает максимума. Пинцка и Саундерс указали алгоритм решения, а позже К. У. Дикман составил программу алгоритма и реализовал ее на ЭВМ. Опыт показывает, что метод облимакс имеет тенденцию к завышению коэффициентов корреляции между факторами по сравнению с действительными их значениями, характерными для данной структуры, т. е. величина угла между осями занижается и решение характеризуется наибольшей косоугольностью. Облимакс-критерий дает удовлетворительное факторное решение, если экспериментальным данным действительно присуща четкая простая структура. Приводимый далее пример является учебным, который на практике редко может встретиться. Исходную факторную матрицу заимствуем опять из табл. 3.14. К данным этой таблицы уже применялись метод варимакс и итеративная процедура вращения, выполненная с помощью графиков, поэтому мы имеем возможность сравнить все три решения. Результат облимакс-вращения приведен в табл. 5.11 и изображен на рис. 5.30. Интересно отметить, что облимакс-решение довольно хорошо согласуется с решением, полученным с помощью графической процедуры. Коэффициент корреляции между вторичными осями равен 0,54.

Кроме облимакс-критерия, имеется еще несколько критериев, основанных на достижении максимума или минимума некоторой функции и аналогичных тем, которые уже обсуждались нами. Ни один из методов, базирующихся на этих критериях, не дает во всех случаях удовлетворительного результата. Предпочтительность того или другого из них связана с природой исследуемого материала. Мы ограничимся здесь только краткой характеристикой этих методов. Минимизация функции (5.27) без наложения ограничения, обусловливающего ортогональность факторов, приводит к так называемому квартимин-критерию Кэрролла. Кэрролл предложил целый класс методов преобразования исходного решения в косоугольное, получивших общее на звание «облимин».

Таблица 5.11. Облимакс-решение для двенадцати переменных (исходная факторная матрица приведена в табл. 3.14)

Их обзор приведен у Хармана [117]. Облимин-методы основаны на различных комбинациях квартимин-критерия и косоугольного варианта варимакс-критерия Кайзера, известного под названием «коваримин». Кайзер и Дикман предложили другую процедуру поиска косоугольной системы координат с помощью критерия бинормамин. Обилие терминов может ввести в заблуждение. Вполне возможно, что на основе всех перечисленных критериев будет создан метод, который превзойдет по качеству получения простой структуры метод облимакс. Но до сих пор это никому не удалось сделать. Часть авторов приводит доводы в пользу одних методов, другая часть подчеркивает достоинства других методов. Но большинство исследователей все-таки склоняются к мнению, что эффективность и преимущества того или иного метода тесно связаны с характером изучаемого материала.

Основное преимущество аналитических методов заключается в том, что по разработанным алгоритмам могут быть составлены машинные программы и все расчеты произведены на ЭВМ. Аналитические методы вращения являются объективными в том смысле, что вся процедура выполняется на ЭВМ как бы без вмешательства исследователя, но они не являются наилучшими в смысле получения простой структуры. Несмотря на однозначность принципов построения алгоритмов, различные методы приводят к различным результатам и ни один из них не дает простую структуру, оптимальную в смысле удовлетворения критерия Баргмана или Каттелла. Уже упомянутый здесь метод максплейн Каттелла и Мюрля дает хорошие результаты, так как его алгоритм близок к графическим процедурам вращения и основан на получении наибольшего числа нулевых нагрузок в гиперплоскостях координат.

Рис. 5.30. Облимакс-вращение по данным табл. 5.11. Точки лежат в зоне ±0,10 вокруг гиперплоскостей. Результаты этого метода вращения согласуются с рис. 5.16