Дисперсионный анализ.

В то время как в регрессионном анализе предполагается различие между исходными величинами и целевой функцией, т. е. производится группировка переменных, в дисперсионном анализе исходят из данных, уже сгруппированных по различным индивидуумам.

Оценка расхождения между двумя средними значениями выполняется с помощью -критерия. В рамках дисперсионного анализа значительно расширяются возможности проверки гипотезы существенности различия между парами средних. В случае однофакторного комплекса проверяется гипотеза, является ли существенным различие между средними значениями отдельных групп и средним значением всей совокупности. Итак, в дисперсионном анализе проверяется определенная гипотеза. Вид гипотезы зависит от постановки задачи и от исходных данных. Прежде всего, большим достоинством дисперсионного анализа является возможность исследования влияния сразу нескольких факторов. В многофакторном дисперсионном анализе (MANOVA) проверяется гипотеза различия между векторами средних значений.

Здесь не будет излагаться теория дисперсионного анализа. Этой теме посвящены публикации многих авторов, к которым мы и отсылаем читателя, например Линдер [190], Вебер [303], Коллер [176] и др. Из книг, изданных на английском языке, можно назвать книги таких авторов, как Диксон [76], Браунли [26], Беннет и Франклин [18], Шеффе [252], Кендэл и Стьюарт [173], а также Андерсон [5, 4]. Дисперсионный анализ является классическим методом проверки существенности различия между средними значениями данных, разбитых на группы, и других гипотез, связанных с этой постановкой, например проверка отсутствия влияния различных факторов и их взаимодействий. При этом большей частью используется линейная модель, как и в факторном анализе. Осуществить выбор соответствующей модели многофакторного дисперсионного анализа в каждом конкретном случае не так просто, как это может показаться вначале. Вид дисперсии, подставляемой в знаменатель -критерия, определяется каждый раз выбранной моделью. Встречаются значительные трудности при интерпретации отдельных взаимодействий и прежде всего потому, что число взаимодействий сильно возрастает с увеличением числа факторов-переменных. Кроме того, в имеющихся в распоряжении программах для электронных вычислительных машин чрезвычайно редко учитывается более 5 или 6 факторов, т. е. выбор числа переменных в дисперсионном анализе ограничен. Следует указать на то, что термин «фактор» общепринят в дисперсионном анализе и означает наблюдаемую величину. Следовательно, понимание этого термина в рамках дисперсионного анализа отлично от его толкования в факторном анализе.

Постановка задачи в факторном анализе существенно отличается от ее постановки в дисперсионном анализе. Задачей дисперсионного анализа является исследование влияния одного или нескольких факторных признаков и их взаимодействий на результативный признак и оценки этого влияния. При этом отдельные значения результативного признака увязываются с выбранной моделью. Заранее задаются факторы, число которых ограничено, и их уровни.

В факторном анализе переменные исследуются в отношении их взаимосвязи. При этом заранее не постулируется, что наблюдаемые переменные полностью представляют исследуемую область. Напротив, ставится задача определения количества и вида линейно-независимых друг от друга переменных (факторов), которые бы достаточно точно воспроизводили взаимосвязи наблюдаемых данных.

Факторный анализ пытается выявить «существенные» величины, которые определяют вариацию большого числа переменных. В то время как в дисперсионном анализе имеют дело с одной или несколькими переменными, заданными заранее, и по разработанной методике проверяют их влияние, в факторном анализе пытаются через имеющееся, ничем не ограниченное число наблюдаемых переменных воспроизвести величины, полностью их объясняющие, и оценить эти величины для отдельных индивидуумов.

При конкретных исследованиях имеет смысл оба метода комбинировать, на что особо указывал Каттелл [35, 4]. Вначале, при неопределенной еще структуре исследуемой области, полезно провести факторный анализ, чтобы выявить факторы, вызывающие рассеяние, а потом экспериментировать с ними или, например, провести дисперсионный анализ, чтобы доказать их влияние на третьи величины. Кроме того, можно объединить обе концепции в одном эксперименте и при получении оценок факторов, на что также обращает внимание Каттелл [35; 4].

Приоритет в проведении параллели между факторным и дисперсионным анализом принадлежит Барту [27; 2, 5], но его публикации труднодоступны. Из работ, выполненных его учениками, следует особо отметить работу Кризи [68]. В ней автор пытается исходя из матрицы исходных данных проверить гипотезу существования факторов с помощью дисперсионного анализа. К сожалению, метод дает не очень хорошие результаты, но он прекрасно улавливает связь между дисперсионным и факторным анализом. Фрюхтер в статье, опубликованной в справочнике [35; 21], описывает некоторые варианты комбинированного применения обоих методов. Но до сих пор отсутствует полное изложение сопоставления обоих методов.