5.8. ФАКТОРЫ ВТОРОГО И БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКОВ

Обычно в результате вращения при поиске простой структуры получаем факторную матрицу с коррелированными факторами. Матрицу корреляций между факторами можно в свою очередь использовать в качестве исходного момента для продолжения анализа обычными методами, но применительно уже к этой матрице, рассматривая факторы как переменные. Факторы, являющиеся результатом первого анализа на базе первичного исходного материала по матрице коэффициентов корреляции между наблюдаемыми переменными, называют факторами первого порядка. До сих пор мы имели дело именно с ними. Факторы второго порядка являются результатом анализа связки корреляций между факторами первого порядка. Эту процедуру можно продолжить, выделяя из факторов второго порядка факторы третьего порядка и т. д.

Разумеется, выделение факторов более высокого порядка возможно тогда, когда факторы предыдущего порядка имеют однозначную явно выраженную простую структуру, так как только в этом случае получают до некоторой степени надежную оценку . Так как число факторов значительно меньше числа переменных, размер матрицы корреляций между факторами большей частью очень незначителен. Считая в среднем, что на фактор должно приходиться 4—5 переменных, для определения двух факторов второго порядка требуется около десяти факторов первого порядка, которые в свою очередь должны быть выделены в результате анализа 40—50 переменных. Аналогично рассуждая, можно подсчитать, что для получения факторов третьего порядка нужно иметь не менее 100—200 переменных. Этот подсчет показывает нам, что с увеличением порядка выделяемых факторов растут и расходы на проведение экспериментов. Но при этом происходит уточнение структуры причинных связей, действующих за кулисами явлений.

Идея применения факторов второго и более высоких порядков принадлежит Тэрстоуну [286; 1, 6]. Ее можно сформулировать в матричных терминах следующим образом:

По редуцированной матрице коэффициентов корреляции между наблюдаемыми переменными выделяют факторы и подвергают их вращению с целью нахождения простой структуры. В результате получают факторное отображение и матрицу корреляций между факторами первого порядка . К найденной матрице корреляций косоугольных факторов применяют опять обычные классические методы оценки общностей, выделения факторов и их вращения до получения отображения факторов второго порядка. Матрица корреляций между факторами второго порядка если число ее столбцов достаточно велико и ее структура однозначна, может быть подвергнута опять факторному анализу, результатом которого будут являться факторы третьего порядка. Автору данной книги не известны исследования, где бы производились выделения факторов еще более высокого порядка. Непосредственно ясно, что введение факторов второго и более высоких порядков усложняет модель, однозначность которой при этом в общем случае снижается. Факторы второго порядка должны проявлять четкую и значимую простую структуру на уровне факторов первого порядка. Так как редуцированная матрица имела ранг , введение других величин помимо факторов первого порядка означает, что факторы более высокого порядка не могут быть независимыми от факторов первого порядка. Они должны рассматриваться в качестве функций факторов первого порядка. В сущности говоря, при введении факторов второго порядка возникает вопрос: как увязать между собой структуру факторов и конфигурацию векторов, соответствующих наблюдаемым переменным? Обычно при умеренном числе переменных удовлетворяются факторами первого порядка. Однако, располагая большим числом переменных и имея в наличии значительные корреляции между факторами первого порядка, мы можем попытаться выделить факторы второго порядка с целью более глубокого проникновения в причины изменений, существующих на поверхности явлений.

Конечно, все эти рассуждения с определенной точки зрения не так уж убедительны и даже несколько «притянуты за уши». Уже факторы первого порядка являются некоторыми гипотетическими конструкциями, абстрагированными от реальной действительности, от исходных данных. Факторы второго порядка удалены от экспериментального материала еще на одну ступень. С другой стороны, достигается возможность взаимоувязать результаты многих экспериментов и выявить структуру в пространстве большой размерности, что при некоторых обстоятельствах представляет особый интерес в смысле генерирования новых гипотез.

Рис. 5.34. Схема факторного отображения при наличии факторов первого порядка. Крестиком обозначены высокие факторные нагрузки

Воспользуемся геометрической интерпретацией ортогональной простой структуры для десяти переменных и трех факторов, наглядно поясняющей все рассуждения. На рис. 5.34 переменные 1, 3, 4, 7 и 8 связаны с фактором А и определяют его, переменные 2, 5 ,6 и 9 связаны с фактором В, а переменные 4, 7, 9 и 10 — с фактором С. Эта связь представлена в факторном отображении в виде крестиков в правой части рисунка, а также в виде прямых, соединяющих обозначения факторов А, В, С с номерами переменных в левой части рисунка. Оба способа изображения соответствуют друг другу и имеют один и тот же смысл. Пусть для данного случая ранг корреляционной матрицы равен трем, три выделенных фактора ортогональны и определяют существенную долю общей дисперсии десяти переменных. Факторы А, В и С являются обычными факторами первого порядка.

Ситуация на рис. 5.35 сложнее. Как и на рис. 5.34, мы воспользовались двумя способами изображения. Левая часть рис. 5.35 в другой графической форме представляет те же результаты факторного анализа, что средняя и правая части. Пусть в результате факторного анализа пятнадцати переменных было получено факторное отображение первого порядка с факторами А, В, С, D, Е. Путем вращения при поиске простой структуры пришли к косоугольной системе факторов. Факторы теперь линейно взаимосвязаны. Коэффициенты корреляции между факторами, записанные в матрицу, отражают структуру, присущую данным факторам. Мы пришли к однозначной косоугольной простой структуре. Величина потери факторами независимости в результате вращения находит отражение в корреляционной матрице . Подвергая дальнейшему факторному анализу эту матрицу, выделяем из нее два фактора: К и L. Итак, в этом примере имеем дело с более сложной структурой исходных данных, чем это было изображено на рис. 5.35.

Несомненно, что возможность сформулировать, вывести и удачно интерпретировать такие дифференцированные гипотезы путем применения хорошо разработанной процедуры, является важным моментом в проведении исследований.

Пока еще четко не разграничено, какой фактор является фактором первого порядка, а какой — второго порядка. Очевидно, это зависит от выбора переменных. Имеется еще целый ряд вопросов, которые также остаются пока неразработанными, например проверка значимости всей структуры, соотношение между факторами второго порядка (second order factors) и их значениями (factor scores) и вопрос, насколько содержательно интерпретируема полученная таким образом структура. О факторах второго и более высокого порядка имеется относительно мало литературы.

Рис. 5.35. Схема факторного отображения при наличии факторов первого и второго порядков. Крестиками обозначены высокие факторные нагрузки. Числа соответствуют номерам переменных. А, В, С, D, Е — факторы первого порядка; К, L — факторы второго порядка

Лишь школа Тэрстоуна и Каттелла интенсивно работала над этой проблемой. Тэрстоуну принадлежит пример с одной популяцией, в котором он наглядно продемонстрировал характер фактора второго порядка. Найдя удачное истолкование фактора второго Порядка в этом примере, он обобщил возможность выполнять такую интерпретацию во всех случаях, назвав этот фактор генерирующим. Нельзя надеяться, что выделение такого фактора будет возможно для любого экспериментального материала. Во всяком случае, это очень заманчиво использовать факторы второго порядка для генерирования новых гипотез.

Каттелл также уделил много внимания вопросу разделения факторов первого и второго порядков. В своих книгах [35; 5] и [49] он сообщает о целом ряде факторов второго порядка, которые ему удалось выделить в различных психологических экспериментах. В качестве примера назовем такой фактор, как «страх». В противоположность этому для такой концепции, как невроз, не может быть выделен единый фактор второго порядка, объясняющий все его проявления. Для этого нужно по крайней мере шесть—восемь факторов. Стремление выявить природу факторов второго порядка содействует образованию новых гипотез и четкому определению структуры всей изучаемой популяции.

Это говорит в пользу концепции факторов высоких порядков, так как несомненна их практическая ценность. Но имеется немало теоретических возражений и критических замечаний. Для выяснения всех этих вопросов должен быть накоплен опыт исследования различных явлений с привлечением обширного экспериментального материала. Достигнутые в настоящее время успехи в области моделирования на ЭВМ могут облегчить поставленную задачу.

Для случая, когда экспериментальный материал позволяет путем описанных процедур выявить однозначную структуру, скрывающуюся за наблюдаемыми переменными, и выйти на уровень по меньшей мере факторов второго порядка, Шмид и Лейман [257] указали один интересный метод, который заключается в преобразовании косоугольной структуры в иерархическое ортогональное факторное отображение. Такое преобразование возможно, если факторы второго порядка изолированы. Непосредственно с самой процедурой вычисления можно познакомиться у Шмида и Леймана. Мы опишем это преобразование в матричных терминах.

Тукер [291; 2] показал, что любое косоугольное факторное решение может быть переведено в ортогональную матрицу, если можно образовать Тогда матрица ортогональна и равенство выполняется. Предположим, что из корреляционной матрицы выделили факторы первого, второго и третьего порядков. Для простоты обозначим через через и так далее

Пусть факторы третьего порядка будут ортогональны по отношению друг к другу. Это предположение весьма правдоподобно, так как оно связано с уменьшением размерности факторного пространства. Путем добавления некоторых элементов образуем новую матрицу где обе матрицы лишь просто записаны рядом друг с другом. Тогда имеем

Исходя из (5.43) и всего вышесказанного получаем ортогональную матрицу

И наконец,

Та же самая процедура повторяется еще раз. Образуем матрицу получаем затем перемножаем с . Тогда где — ортогональная матрица.

Все выполненные операции дают возможность записать: . Этот вывод может быть не очень понятен. Но если ввести обозначения размерностей отдельных матриц, то все встанет на свои места.

Иерархический метод основан на последовательной ортогонализации всего факторного отображения, начиная с факторов наивысшего порядка (в данном случае с факторов третьего порядка). Затем подвергаются ортогонализации факторы второго порядка, а потом первого. На рис. 5.36 показано, как выглядит такая иерархическая факторная структура. Слева изображены косоугольные факторы первого, второго и третьего порядков, справа — ортогональное иерархическое факторное отображение по Шмиду—Лейману.

Рис. 5.36. Схема ортогонального иерархического факторного отображения Шмида—Леймана и косоугольного решения с факторами высоких порядков. Крестиками обозначены высокие факторные нагрузки. А — фактор третьего порядка; В, С, D — факторы второго порядка; Е, F, G, Н, I, J — факторы первого порядка

Шмид и Лейман считают, что ортогонализация всегда возможна, если имеются в распоряжении факторы второго и более высоких порядков, и что ортогональность факторов является важным признаком существования факторов еще более высокого порядка. Если на каждом уровне факторизации получается косоугольное решение с простой структурой, то можно достигнуть такой иерархической структуры, которая значительно облегчит интерпретацию материала и может послужить основой для формулировки некоторой научной гипотезы. Какой способ изображения, представленный на рис. 5.36, выбрать исследователю в каждом конкретном случае, — трудно заранее предсказать. Оба способа соответствуют друг другу, и выбор зависит, очевидно, от индивидуальных особенностей исследователя и содержания эксперимента. К сожалению, еще накоплено мало опыта по применению преобразования Шмида—Леймана на практике.