3.1.4. Примеры

Приведем в качестве иллюстрации несколько примеров проведения анализа методом главных факторов, который был осуществлен с помощью ЭВМ. В этих примерах не доведена до конца процедура вычислений факторного анализа и представлен только один этап, а именно выделение факторов. В качестве первого примера возьмем корреляционную матрицу, рассмотренную ранее. Эта матрица воспроизводилась двумя факторами по равенству (2.6).

Рис. 3.6. Сравнение результатов вычисления методом главных факторов с первоначальным факторным отображением. Оба изображения практически не отличаются друг от друга

Мы хотим теперь проверить, даст ли нам применение метода главных факторов к этой корреляционной матрице те же самые первоначальные факторы, по которым она вычислялась.

Корреляционная матрица с вычисленными главными факторами и первоначальным факторным отображением представлена в табл. 3.13. Имеется небольшая разница между действительными и вычисленными факторными нагрузками. Графическое противопоставление произведено на рис. 3.6. Изображения соответствуют друг другу. Таким образом, применение метода главных факторов дало довольно точное воспроизведение факторов, которые мы первоначально заложили в модель.

Во втором примере рассмотрим корреляционную матрицу для 12 переменных. Речь идет о шести повторных измерениях систолического и диастолического кровяного давления у 90 студентов мужского пола в течение 30 мин. Переменные с нечетными номерами являются измерениями систолического кровяного давления, переменные с четными номерами — измерениями диастолического кровяного давления.

Таблица 3.13. Вычисление главных факторов по равенству (2.6)

В качестве общностей выбраны наибольшие значения элементов в каждом столбце матрицы R. Коэффициенты корреляции и результаты решения по методу главных факторов с точностью до второго знака после запятой приведены в табл. 3.14. Оба фактора и F, в данном примере воспроизводят свыше 99% суммарной общности. Этот факт мы еще обсудим подробнее. Остаточная матрица не содержит больше коэффициентов корреляции, которые значительно отличаются от нуля. В этом читатель может сам убедиться, проделав в качестве упражнения соответствующие вычисления. Следовательно, двух факторов вполне достаточно для воспроизведения данной матрицы.

Оба фактора табл. 3.14 изображены на рис. 3.7. При этом в виде треугольников изображены переменные с четными номерами, т. е. измерения диастолического кровяного давления, а в виде кружков — переменные с нечетными номерами, т. е. измерения систолического давления. Обе группы точек четко отделены друг от друга. Полученное в результате решения положение системы координат относительно точек определяется тем, что максимум дисперсии лежит в направлении и перпендикулярно к нему второй максимум оставшейся дисперсии — в направлении . Хотя положение системы координат определено однозначно, интерпретировать ее трудно. Для интерпретации было бы значительно проще, если бы координатные оси проходили через скопления точек.

Таблица 3.14. Вычисления главных факторов при повторных измерениях кровяного давления

(см. скан)

В этом случае одна ось координат, или один фактор, четко определялась бы измерениями систолического кровяного давления, а вторая ось — измерениями диастолического. Из этого примера видно, что решение, получаемое методом главных факторов, дает результаты не очень удачные для интерпретации, даже если вся общность воспроизводится только двумя факторами, как это имело место в данном случае.

Рис. 3.7. Представление в пространстве главных факторов переменных, полученных в результате повторных измерений кровяного давления

В следующем примере рассматриваются психологические и физиологические параметры. Первые восемь переменных корреляционной матрицы в табл. 3.15 представляют собой физиологические параметры, значения которых получены в результате многократных измерений во время эксперимента. Речь идет о продолжительности реакции (1), силе реакции (2), частоте миганий глаза (3), изменении частоты миганий после акустического раздражения (4), числе движений зрачка глаза в единицу времени (5), среднем времени пяти ударов сердца (6), частоте дыхания (7) и процента -волн в электроэнцефалограмме (EEG) (8).

Остальные 16 переменных отражают результаты заполнения индивидуальных анкет в двух параллельных формах А и В. Данные анкет обеих форм А и В были усреднены для получения более стабильного результата. Переменные 9 — 24 отражают индивидуальные признаки, такие, как возбудимость, преобладание определенных признаков, эгоизм и т. д., в той же самой последовательности, как они приведены в анкете, примененной Каттеллом и Эбером [40]. Испытуемыми были 90 студентов мужского пола. Диагональными элементами являются наилучшие оценки общностей, полученные путем итерации для пяти факторов (см. 4.2.3).

Факторное отображение, полученное методом главных факторов, для 24 параметров приведено в табл. 3.16.

Пятый фактор соответствует собственному значению меньше единицы, поэтому далее будут приниматься во внимание только четыре фактора. Но нагрузки этих факторов не позволяют произвести их единую интерпретацию. Поэтому они должны быть подвергнуты вращению. Первые пять факторов «объясняют» или воспроизводят 79% суммарной общности. Пример отражает типичную ситуацию, возникающую при психологических исследованиях, а именно корреляция большей частью не очень сильна, поэтому общности довольно небольшие и часто вполне достаточно нескольких факторов для объяснения общей вариации исходных переменных.

Таблица 3.15. Корреляционная матрица, построенная по данным физиологических измерений и заполнения анкет