§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

1. Переменные величины

Человеку постоянно приходится встречаться с различными физическими величинами, такими, например, как объем, плотность, длина, время, давление, температура и т. д. Все эти величины, качественно отличаясь друг от друга, имеют, однако, то общее свойство, что каждая из них может быть измерена. В результате измерений получаются действительные числа, которые мы будем называть численными значениями соответствующих величин. При измерениях одной и той же величины могут получиться различные численные значения, если эта величина измеряется, скажем, в различные моменты времени или при различных условиях. Например, скорость движения автомобиля на различных участках пути или в различные моменты времени имеет различные численные значения. Точно так же давление некоторой массы газа в замкнутом сосуде имеет различные численные значения при различных температурах. Одним словом, численные значения величины могут изменяться, и поэтому сама величина называется переменной. В математике отвлекаются от конкретного физического смысла величин и считают переменную величину (короче—переменную) заданной, если известно множество всех численных значений, которые она может принимать. Постоянную величину (т. е. величину, которая при рассматриваемых условиях не меняет своего численного значения) принято рассматривать как частный случай переменной, когда множество ее численных значений состоит из одного числа. Численные значения переменной величины образуют некоторое множество действительных чисел. Ему соответствует некоторое множество точек на числовой оси. Оба эти множества могут быть самыми различными (в зависимости от рассматриваемой переменной). Но в дальнейшем чаще всего нам придется иметь дело с множествами чисел, которые называются сегментом и интервалом.

Определение 1. Интервалом называется множество чисел удовлетворяющих неравенствам

где - действительные числа.

Определение 2. Сегментом называется множество чисел удовлетворяющих неравенствам

где - действительные числа.

Интервал обозначается символом , а сегмент — символом . При этом а и b называются концами соответствующего интервала или сегмента. Например, интервал (2, 5) состоит из всех чисел удовлетворяющих неравенствам . В частности, точки принадлежат интервалу (2,5), в то время как точки этому интервалу не принадлежат.

Часто приходится рассматривать также множества чисел, удовлетворяющих неравенствам или Каждое из этих множеств называется полуинтервалом или полусегментом и обозначается соответственно или

Каждый из введенных терминов будет относиться не только к данному множеству чисел, но и к соответствующему ему множеству точек на числовой прямой. Так, сегменту геометрически соответствует отрезок числовой оси с концами в точках а и b, а интервалу - тот же отрезок с удаленными концами а и b. Сегмент получится, если к интервалу присоединить его концы — точки а и b.

В некоторых случаях рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы. Приведем определяющие их неравенства и соответствующие обозначения:

Всю числовую ось можно также рассматривать как бесконечный интервал, который обозначается символом