3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи

В п. 2 мы показали, что всякой плоскости соответствует уравнение первой степени относительно текущих координат.

Рассмотрим теперь общее уравнение первой степени с тремя переменными

По крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, так как иначе мы имели бы не уравнение, а тождество Предполагая для определенности, что представим уравнение (5) в виде

Уравнение (6) равносильно уравнению (5). Сравнивая уравнение (6) с уравнением (4), мы видим, что оно, а следовательно, и равносильное ему уравнение (5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором проходящей через точку

Итак, мы показали, что имеет место предложение, обратное доказанному в п. 2, а именно: всякое уравнение первой степени относительно текущих декартовых координат у и z представляет собой уравнение некоторой плоскости. При этом коэффициенты А, В, С являются проекциями нормального вектора плоскости на координатные оси.

Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости.

Пример. Выяснить, лежат ли точки в плоскости

Решение. Точка тогда и только тогда лежит в плоскости, когда ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Поэтому для решения задачи нужно проверить, удовлетворяют ли координаты точек уравнению плоскости. Подставляя координаты точки в уравнение плоскости, получим , т. е. точка лежит в плоскости. Для точки имеем: Так как координаты точки не удовлетворяют уравнению плоскости, точка не лежит в этой плоскости.

Рассмотрим частные случаи общего уравнения плоскости (5)

Выясним, какие особенности будет иметь расположение плоскости относительно системы координат, если один или несколько коэффициентов уравнения (5) обращаются в нуль.

1. Свободный член равен нулю. Пусть . В этом случае уравнение плоскости имеет вид . Плоскость проходит через начало координат , так как числа удовлетворяют ее уравнению. Итак, если свободный член уравнения плоскости равен нулю, то плоскость проходит через начало координат.

2. Один из коэффициентов при текущих координатах равен нулю.

Пусть, например, . В этом случае уравнение плоскости имеет вид Нормальный вектор плоскости перпендикулярен оси (так как его третья проекция равна нулю). Следовательно, сама плоскость параллельна оси Если уравнение рассматривать в плоскости то оно будет уравнением прямой, по которой наша плоскость пересекает координатную плоскость Рекомендуем читателю установить, что плоскость параллельна оси а плоскость параллельна оси Итак, мы приходим к следующему выводу: если в уравнении плоскости отсутствует член, содержащий координату z или у, или то плоскость параллельна соответственно оси или или

3. Коэффициент при текущей координате и свободный член равны нулю. Например, . В этом случае уравнению соответствует плоскость, проходящая через начало координат (согласно п. 1). Так как, кроме того, нормальный вектор плоскости перпендикулярен оси то сама плоскость проходит через ось

Аналогично, уравнениям отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси

4. Два коэффициента при текущих координатах равны нулю.

Пусть, например, Тогда плоскость в силу предыдущего будет параллельна оси и оси , а следовательно, параллельна координатной плоскости . К этому же выводу можно прийти, если записать уравнение в виде Уравнение показывает, что любая точка плоскости имеет одну и ту же аппликату, т. е. что плоскость параллельна координатной плоскости . Аналогично, уравнениям отвечают плоскости, соответственно параллельные координатным плоскостям

5. Два коэффициента при текущих координатах и свободный член равны нулю. Пусть, например, Тогда уравнение плоскости примет вид или Эта плоскость проходит через начало координат (отсутствует свободный член), а ее нормальный вектор Следовательно, — уравнение плоскости Аналогично можно убедиться, что — уравнение плоскости а - уравнение плоскости