§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. Основные понятия

Дифференциальное уравнение второго порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные. В частных случаях в уравнении могут отсутствовать . Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать .

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной

В § 1, п. 1 мы рассмотрели задачу, которая привела к простейшему дифференциальному уравнению второго порядка (см. формулу 4, § 1, п. 1).

Как и в случае уравнения первого порядка, для уравнения второго порядка существует общее и частное решение. Рассмотрим сначала на примере, какой вид имеет общее решение уравнения второго порядка и как из него выделяется частное решение.

Возьмем простейшее уравнение второго порядка

Для его решения введем обозначение . Тогда и уравнение (35) примет вид . Отсюда следует, что или . Интегрируя еще раз, найдем .

Полученное решение зависит от двух произвольных постоянных (общее решение). Геометрически это решение представляет множество парабол (интегральных кривых), причем через каждую точку плоскости, очевидно, проходит бесконечное множество парабол, имеющих в этой точке различные касательные (рис. 275). Для выделения из множества этих кривых какой-либо одной интегральной кривой необходимо, кроме координат точки через которую проходят параболы, дополнительно задать угловой коэффициент касательной, т. е. значение в этой точке производной

Рис. 275

Таким образом, условия, с помощью которых из общего решения уравнения второго порядка выделяется частное решение (начальные условия), имеют вид:

Первое из этих условий указывает точку, через которую должна проходить интегральная кривая. Второе условие определяет наклон интегральной кривой в данной точке.

Зададим, например, для уравнения (35) следующие начальные условия: .

Из общего решения находим . Используя начальные условия, получаем для определения систему уравнений

Из этой системы находим значения . Поэтому искомое частное решение имеет вид

Результаты, полученные в этом простейшем примере, остаются справедливыми и в общем случае уравнения второго порядка. Для уравнения второго порядка, как и для уравнения первого порядка, имеет место теорема существования и единственности (теорема Коши), которую мы приводим без доказательства.

Теорема. Пусть правая часть уравнения и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой области G изменения переменных . Тогда какова бы ни была внутренняя точка этой области, данное уравнение имеет единственное решение удов летворяющее начальным условиям

Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям, как и в случае уравнения первого порядка, называется задачей Коши.

Дадим теперь определения общего и частного решений уравнения второго порядка , правая часть которого удовлетворяет условиям теоремы Коши в некоторой области G изменения переменных .

Определение. Функция зависящая от аргумента и двух произвольных постоянных называется общим решением уравнения (34) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:

1) при любых знамениях произвольных постоянных С, и функция является решением уравнения (34);

2) каковы бы ни были начальные условия (36)

существуют единственные значения постоянных такие, что функция является решением уравнения (34) и удовлетворяет начальным условиям (36).

Замечание 1. Значения постоянных находятся из системы уравнений

Замечание 2. При задании начальных условий (36) необходимо, чтобы значения переменных принадлежали области

Замечание 3. Если общее решение дифференциального уравнения второго порядка получено в виде, не разрешенном относительно искомой функции: , то это соотношение называют общим интегралом данного дифференциального уравнения.

Определение. Всякое решение уравнения (34), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением.