3. Частные производные высших порядков

Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые мы будем называть вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.

Так, например, функция двух переменных имеет четыре частных производных второго порядка, которые определяются и обозначаются следующим образом:

Функция трех переменных имеет девять частных производных второго порядка:

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядка функции нескольких переменных: частной производной порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной порядка той же функции.

Например, частная производная третьего порядка функции есть частная производная первого порядка по у от частной производной второго порядка

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной.

Например, частные производные

являются смешанными частными производными функции двух переменных .

Пример. Найти смешанные частные производные второго порядка функции

Решение. Находим частные производные первого порядка

Затем находим смешанные частные производные второго порядка

Мы видим, что смешанные частные производные и отличающиеся между собой лишь порядком дифференцирования, т. е. последовательностью, в которой производится дифференцирование по различным переменным, оказались тождественно равными. Этот результат не случаен. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства.

Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

В частности, для функции двух переменных z=f(x, у) имеем: