8. Общая схема исследования функции и построение ее графика

На основании всего изложенного в этом параграфе можно рекомендовать следующий план исследования функций.

1. Нахождение области определения функции, интервалов непрерывности и точек разрыва.

2. Нахождение асимптот графика функции.

3. Нахождение интервалов монотонности функции и ее экстремумов (максимумов и минимумов).

4. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.

5. Построение графика функции.

Замечание 1. При построении графика функции полезно знать также точки пересечения графика с осями координат.

Замечание 2. Перед построением графика полезно также установить, не является ли данная функция четной или нечетной .

При построении графика четной или нечетной функции рекомендуется использовать симметрию графика относительно оси ординат или начала координат.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1. Функция определена и непрерывна для всех значений х.

2. Асимптоты графика функции, не параллельные оси

Так как для b не существует конечного предела, то график функции асимптот, не параллельных оси при не имеет. Легко проверить, что и при график функции также не имеет асимптот, не параллельных оси Асимптот, параллельных оси также нет, так как функция непрерывна при всех значениях

3. Определяем интервалы монотонности функции, максимумы и минимумы.

Находим производную

Определим критические значения аргумента:

Кроме того, так как при производная терпит бесконечный разрыв, то значение будет также критическим.

Определяем знаки производной в каждом из интервалов на которые точки 0 и 1 разбивают всю область определения данной функции. Имеем:

Составляем таблицу

4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика.

Находим вторую производную

не обращается в нуль ни при каком значении х, но при не существует (имеет бесконечный разрыв).

Определяем знаки второй производной в каждом из интервалов и составляем таблицу

Находим точки пересечения графика с осями координат:

При построении графика необходимо иметь в виду, что при

т. е. в начале координат график имеет вертикальную касательную (рис. 161).

Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1. Функция определена и непрерывна в интервале . В граничной точке области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как

Рис. 161

2. Асимптоты графика. Так как в точке функция имеет бесконечный разрыв, то прямая (ось Оу) является асимптотой.

Найдем асимптоту, не параллельную оси

Итак, и уравнение асимптоты будет т. е. асимптотой является ось Ох.

Таким образом, график имеет в качестве своих асимптот ось и ось

3. Определяем интервалы монотонности и экстремумы функции. Находим производную

Критические значения аргумента:

Исследуем знак производной в каждом из интервалов ), на которые точка разбивает всю область определения функции.

Составляем таблицу

4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика.

Находим вторую производную функции:

Приравниваем нулю и находим значения аргумента, при которых график может иметь точку перегиба:

Определяем знак второй производной в каждом из интервалов .

Составим таблицу

Находим точки пересечения с осями координат. С осью график точек пересечения не имеет, так как функция определена при

Рис. 162

Точки пересечения с осью находятся из уравнения , откуда

На основании полученных данных строим график функции изображенный на рис. 162.