2. Определитель третьего порядка

Рассмотрим таблицу (матрицу), состоящую из девяти чисел:

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называют число, получаемое следующим образом:

Определитель третьего порядка обозначают символом

Числа называют его элементами. Определит ель третьего порядка имеет три строки и три столбца. Таким образом,

Формула (8) дает разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Назовем минором, соответствующим данному элементу определителя третьего порядка, определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Миноры будем обозначать заглавными буквами М с двумя индексами. Так, например, минором соответствующим элементу будет определитель . Он получается, если вычеркнуть из определителя третьего порядка первую строку и второй столбец.

Формула (8) показывает, что определитель третьего порядка равен алгебраической сумме попарных произведений элементов первой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу берется со знаком минус.

Применяя правило вычисления определителей второго порядка, соотношение (8) перепишем в виде

Пример.

Все свойства определителей второго порядка (см. п. 1) остаются справедливыми для определителей третьего порядка. Доказательства этих свойств для определителей третьего порядка ничем не отличаются от доказательств аналогичных свойств для определителей второго порядка и основаны на вычислении определителя третьего порядка по формуле (8). Рекомендуем читателю эти свойства доказать самостоятельно.

Аналогично формуле (8), дающей разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки, можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.

Например, разложение определителя по элементам второй строки можно получить следующим образом. По второму свойству (см. п. 1), имеем

Разложим определитель, стоящий справа, по элементам первой строки. Согласно правилу вычисления определителя,

Принимая во внимание равенство получим

По определители суть миноры элементов в данном определителе. Формула (10) дает разложение определителя по элементам второй строки.

Поменяв местами первую строку с третьей, докажем аналогично, что

Формула (11) дает разложение определителя по элементам третьей строки.

Обозначая данный определитель третьего порядка через А, запишем формулы (8), (10) и (11) в виде:

Можно доказать, что аналогичные разложения будут иметь место при разложении по элементам столбцов:

Введем еще одно понятие.

Назовем алгебраическим дополнением элемента определителя его манор, взятый со знаком плюс, ссуш сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если нечетна.

Алгебраическое дополнение элемента обозначается через Здесь i означает номер строки, a -номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором дается следующим равенством:

Например: и т. д.

Легко видеть, что формулы (12) и (13) для вычисления определителей можно переписать теперь следующим образом:

для разложения определителя по элементам строк и

для разложения определителя по элементам столбцов.

Этот результат можно сформулировать следующим образом. Определитель третьего порядка равен сумме попарных произведений элементов какой-либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Укажем еще одно важное свойство определителя третьего порядка

Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (или столбца) равна нулю.

Например,

Проверим, например, равенство (17). Используя равенство (14) и определение минора элемента определителя, можем написать:

Подобным же образом проверяются и остальные равенства.