4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала

В п. 2 мы видели, что если является независимой переменной, то дифференциал функции имеет следующую форму:

Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда является не независимой переменной, а функцией. Действительно, пусть , т. е. у является сложной функцией

Тогда . По правилу дифференцирования сложной функции имеем . Отсюда

так как

Мы доказали следующую теорему.

Теорема. Дифференциал сложной функции для которой имеет такой же вид как если бы аргумент был независимой переменной.

Свойство дифференциала сложной функции, выражаемое этой теоремой, называется инвариантностью формы дифференциала.

Из формулы (66) следует, что выражение для производной

сохраняет свой вид и для случая, когда аргумент не является независимой переменной.