§ 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

1. Задача о массе

Пусть в пространстве Охуг дано некоторое материальное тело V. Рассмотрим некоторую его часть — малое тело , содержащее точку . Отношение массы этого малого тела к его объему , т. е. называется средней плотностью тела . Если существует предел у отношения при условии, что малое тело стягивается в точку , то этот предел называется плотностью в точке Р. Он зависит от положения точки и поэтому является некоторой функцией ее координат: . Вычислим массу тела объема V, зная, что плотность в каждой точке тела есть заданная непрерывна функция координат точки .

Если бы тело V было однородным, т. е. плотность у в каждой его была бы одной и той же, равной то его масса была бы равна

где — объем тела.

Так как в общем случае плотность у меняется от точки к точке, то формула (30) для определения массы тела непригодна. Поэтому мы поступим следующим образом.

Разобьем тело Y на малых тел так, что . В каждом малом теле выберем по точке

Если тела взять достаточно малыми, то в пределах каждого такого тела плотность изменяется незначительно и мало отличается от плотности в точке . Считая плотность в каждой точке малого тела постоянной и равной плотности в точке подсчитаем приближенно его массу

Так как масса m всего тела равна , то получаем для ее вычисления следующее приближенное равенство:

За точное значение массы принимаем предел этой интегральной суммы, когда каждое из малых тел стягивается в точку:

Решение задачи о массе тела привело нас к рассмотрению предела сумм определенного вида. Так как к нахождению предела сумм такого вида сводятся многие задачи геометрии, физики и т. д., то естественно изучить свойства пределов таких сумм в общем виде, независимо от той или иной задачи, что приведет нас к понятию тройного интеграла.