Главная > Математика > Краткий курс высшей математики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

1. Основные понятия

Пусть в плоскости Q задана прямоугольная система координат. Для упрощения записи и удобства преобразования координаты точек будем обозначать не через х и у, а через или и т. д., а основные орты вместо i и j через

Рассмотрим уравнения, связывающие переменные с переменными

где постоянные.

Каждой точке плоскости Q с координатами и соответствует в этой же плоскости единственная точка координаты которой определяются соотношениями (98).

Точка называется образом точки М. Если точка М описывает в плоскости Q некоторую линию L, то ее образ описывает, вообще говоря, также некоторую линию Как говорят, с помощью уравнений (98) устанавливается отображение или преобразование плоскости Q в себя. В связи с тем, что правые части уравнений (98) первой степени относительно это отображение называется линейным. В заданной системе координат линейное отображение вполне характеризуется квадратной матрицей

составленной из коэффициентов линейного отображения (98).

Если ввести матрицы-столбцы то систему уравнений (98) можно записать в следующей матричной форме (см. § 4, п. 4):

Матрица А называется матрицей линейного отображения, а ее определитель — определителем линейного отображения.

Линейное отображение называется невырожденным, если его матрица невырожденная, т. е. если . Если же , то отображение называется вырожденным.

Если линейное отображение невырожденное, то система (98) однозначно разрешима относительно . По формулам Крамера имеем:

Итак,

Уравнения (100) показывают, что, обратно, каждой точке соответствует единственная точка , а именно та точка М, образом которой являлась точка Таким образом, невырожденное линейное отображение определяет взаимно однозначное отображение плоскости Q в себя. Формулы (100) показывают, что обратное отображение также линейно, а его матрица есть матрица, обратная матрице А (см. § 4, п. 3):

К уравнению (100) также можно прийти, если умножить обе части матричного уравнения (99) на матрицу

Но так как

Очевидно, тождестве иному отображению

ссответствует единичная матрица

Пример 1. Линейное отображение

невырожденно, так как его матрица имеет определитель , отличный от нуля. Обратное отображение получим, разрешая систему (103) относительно

Обратное отображение имеет матрицу

Образом точки М (1; 2) будет точка с координатами . Образом прямой будет прямая уравнение которой получим, если в уравнение подставим выражения через по формулам (104):

Пример 2. Линейное отображение

вырожденное, так как матрица имеет определитель равный нулю. Это отображение не имеет обратного и не устанавливает взаимно однозначного отображения плоскости в себя. Действительно, из соотношения (105) легко видеть, что любая точка М прямой имеет своим образом начало координат, так как .

Пример 3 Линейное отображение

с матрицей

невырожденное и представляет собой отображение, при котором образом каждой точки является точка симметричная относительно оси (зеркальное отображение). Так, например, образом точки будет согласно уравнениям (106) точка МЛ 1; —2).

Рассмотрим радиус-вектор ОМ точки Отображение (98) ставит в соответствие этому радиус-вектору радиус-вектор точки А, являющейся образом точки при этом проекции этих векторов связаны формулами (98).

В заключение отметим, что в случае пространства линейное отображение определяется системой уравнений

с матрицей

Если определитель этой матрицы не равен нулю, то отображение называется невырожденным.

Введя матрицы-столбцы для невырожденного отображения получим следующие два матричных уравнения, аналогичные уравнениям (99) и (101):

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление