2. Вычисление площади в полярных координатах

Пусть дан криволинейный сектор ОАВ (рис. 185), ограниченный радиусами-векторами ОА и ОВ и кривой, уравнение которой задано в полярных координатах; При этом предположим, что — непрерывная функция для всех удовлетворяющих условию:

Пусть радиус-вектор ОА образует с полярной осью угол а, а радиус-вектор ОВ — угол . Разобьем угол АОВ на части с помощью лучей, выходящих из полюса О и составляющих с полярной осью последовательно углы

Кроме того, обозначим Через обозначим точки пересечения лучей с кривой.

Криволинейный сектор АОВ разобьется на малых криволинейных секторов (см. рис. 185) . Углы соответственно равны Если обозначить через S площадь всего криволинейного сектора, а через малого криволинейного сектора, ограниченного лучами , то или . Вычислить площадь малого криволинейного сектора так же трудно, как и площадь большого Поэтому мы поступим следующим образом: внутри каждого малого сектора проведем луч под углом Точку пересечения этого луча с кривой обозначим через . Тогда . Заменим теперь каждый малый криволинейный сектор - круговым сектором, описанным из вершины О радиусом (см. рис. 185). Площадь каждого такого кругового сектора равна приближенное значение площади малого криволинейного сектора.

Таким образом, имеем следующее приближенное равенство:

Заменив площадь каждого криволинейного сектора площадью соответствующего кругового сектора, получим фигуру, состоящую из ряда круговых секторов.

Площадь этой фигуры дает нам приближенное значение площади S криволинейного сектора. Поэтому для его площади получим приближенное равенство

или в сокращенной записи

Точность этого приближенного равенства повышается с уменьшением Поэтому точное значение площади S криволинейного сектора получится как предел площади фигуры, составленной из круговых секторов, при условии, что все стремятся к нулю. Таким образом,

Так как есть интегральная сумма для непрерывной функции заданной для значений заключенных между , то ее предел есть определенный интеграл

Следовательно

или в сокращенной записи

Пример. Определить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой (см. рис. 31).

Решение. Применяя формулу (40) при найдем: