2. Понятие функции

При совместном рассмотрении двух переменных величин часто оказывается, что численные значения одной из них зависят от численных значений другой. Например, площадь квадрата зависит от длины его стороны. Если через обозначить длину стороны квадрата, а через у — его площадь, то эта зависимость выражается формулой

Отметим два обстоятельства.

1. Нам известно множество численных значений, которые может принимать это — множество всех положительных чисел. В самом деле, выражает длину стороны квадрата и, следовательно, не может быть отрицательным числом или нулем. С другой стороны, мы вправе рассматривать любой квадрат, и, следовательно, может быть любым положительным числом.

2. Если изменяется, то изменяется , но по определенному закону: каждому значению соответствует определенное и единственное значение у.

Говорят, что площадь квадрата является функцией длины его стороны.

Рассмотрим еще один пример. Пусть материальная точка движется прямолинейно с постоянной скоростью v см/сек из пункта А и через Т сек достигает пункта В. Путь s, пройденный точкой к моменту t этого движения, можно найти по формуле

Здесь s является функцией

Опять отметим, что

1) известно, какие численные значения может принимать

2) каждому из этих значений t соответствует единственное значение

Обобщая эти примеры, приходим к следующему определению.

Определение. Переменная у называется функцией переменной если:

1) задано множество М численных значений

2) задан закон, по которому каждому значению из этого множества соответствует единственное численное значение у.

При этом называется независимой переменной или аргументом. Если у является функцией то говорят, что между и у существует функциональная зависимость.

Определение. Множество всех значений аргумента данной функции называется областью определения (или областью задания) этой функции.

В первом из рассмотренных выше примеров областью определения функции являлся бесконечный интервал . Во втором примере областью определения функции был сегмент .

Тот факт, что у есть функция переменной записывается символически следующим образом:

(читается: «у есть от х»).

При рассмотрении какого-нибудь частного значения функции т. е. значения, которое она принимает при заданном численном значении пишут или

Например, если х, то у Аналогично, если , то .

Кроме буквы для обозначения функций употребляются и другие буквы, например: . Точно так же не обязательно функция и ее аргумент должны обозначаться буквами у их, вполне возможно обозначать их и другими буквами.