3. Признаки сходимости несобственных интегралов

В некоторых случаях нет необходимости вычислять несобственный интеграл, а достаточно лишь знать, сходится он или расходится. В таких случаях часто бывает полезным сравнить данный несобственный интеграл с другим несобственным интегралом, сходимость или расходимость которого известна. Приведем без доказательства теоремы, устанавливающие признаки сходимости или расходимости, основанные на сравнении несобственных интегралов. Теорема 1. Пусть в интервале функции непрерывны и удовлетворяют неравенствам . Тогда

а) если интеграл сходится, то сходится и интеграл

б) если интеграл расходится, то интеграл также расходится.

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл I

Решение. Сравним подынтегральную функцию - с функцией Очевидно, что в интервале

Но сходится, так как (см. п. 1, пример 1). Следовательно, по теореме 1 сходится и данный интеграл

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. На интервале , так как при сумма больше основания натуральных логарифмов .

Следовательно, на этом интервале

Но интеграл — расходится (см. п. 1, пример 1). Следовательно, и данный интеграл также расходится.

Теорема 2. Пусть функции в интервале непрерывны и удовлетворяют неравенствам а в точке имеют разрыв. Тогда:

а) если интеграл сходится, то сходится и интеграл

б) если интеграл расходится, то интеграл также расходится.

Решение. Подынтегральная функция непрерывна на интервале [0, 1), а в точке имеет бесконечный разрыв. Будем сравнивать подынтегральную функцию с функцией также непрерывной в интервале [0, 1) и имеющей бесконечный разрыв в точке . Прежде всего отметим, что для 1 имеет место неравенство и, следовательно, неравенство . Но тогда и поэтому Таким образом, подынтегральная функция в интервале [0, 1) оказалась меньшей, чем функция

Так как интеграл сходится (см. п. 2, пример 1), то по теореме 2 сходится и интеграл