2. Теорема Ролля

Теорема Если функция непрерывна на сегменте , дифференцируема во всех его внутренних точках и на концах сегмешпа обращается в нуль: то ее производная обращается в нуль хотя бы в одной внутренней точке с этого сегмента.

Доказательство. Так как функция непрерывна на сегменте, то она достигает на этом сегменте своего наибольшего значения М и наименьшего значения (гл. V, § 2, п. 3).

Если , то функция постоянна на сегменте и, следовательно, ее производная в любой точке сегмента. Пусть теперь Мфту тогда одно из этих чисел, например . Поэтому, если наибольшее значение М достигается в точке с: то точка с должна быть внутренней точкой сегмента т. е. принадлежать интервалу (так как на концах сегмента f Следовательно, по теореме Ферма

Геометрически теорему Ролля можно пояснить следующим образом: если график непрерывной на сегменте и дифференцируемой внутри него функции пересекает ось в двух точках то между этими точками найдется хотя бы одна точка с, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс (см. рис. 144).

Рис. 144

Пример. Рассмотрим на сегменте [0, я] функцию Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она непрерывна и дифференцируема на сегменте [] и обращается в нуль на его концах: Производная этой функции обращается в нуль в точке лежащей внутри сегмента [].

Замечание. Если не выполнено требование о дифференцируемости функции во всех внутренних точках сегмента то утверждение теоремы Ролля может оказаться неверным. Например, функция непрерывна на сегменте и обращается в нуль на концах сегмента:

Рис. 145

Рис. 146

Однако производная внутри данного сегмента в нуль не обращается. Происходит это потому, что при производная не существует. Из рис. 145 видно, что в этом случае на сегменте не существует касательной, параллельной оси