11. Векторное произведение

Определение. Векторным произведением вектора а на вектор b называется новый вектор с, который определяется следующим образом:

1) модуль вектора с численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах а и b как на сторонах, т. е.

(73)

2) вектор с перпендикулярен к обоим перемножаемым векторам;

3) направление вектора с таково, что, смотря из его конца вдоль вектора, поворот по кратчайшему пути от вектора а к вектору b мы будем видеть совершающимся против движения часовой стрелки (рис. 74).

Рис. 74

Векторное произведение векторов а и b обозначается символом

Рассмотрим физическую задачу, решение которой приводит к операции векторного произведения двух векторов.

Покажем, как вычисляется скорость точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 75). Допустим, что твердое тело вращается с угловой скоростью со вокруг неподвижной оси. Введем вектор угловой скорости .

Этот вектор направлен по оси вращения тела в ту сторону, из которой вращение тела видно против движения часовой стрелки.

Пусть М — произвольная точка тела. Скорость этой точки направлена по касательной к окружности, описываемой точкой при вращении тела. При этом плоскость окружности перпендикулярна оси вращения. Величина скорости точки М равна произведению модуля угловой скорости на расстояние d точки М до оси вращения, т. е.

Рис. 75

Возьмем на оси вращения произвольную точку О и отложим из нее вектор и вектор . Обозначим угол между векторами через у.

Тогда из треугольника имеем (см. рис. 75).

Подставляя это значение d в формулу (74), находим

Скорость v точки М перпендикулярна векторам , и из конца вектора скорости v кратчайший поворот от вектора со к вектору виден совершающимся против движения часовой стрелки.

Поэтому на основании определения векторного произведения имеем:

Рассмотрим теперь основные свойства векторного произведения.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак, сохраняя модуль. Таким образом, векторное произведение не обладает переместительным свойством.

Действительно, из определения векторного произведения следует, что векторы имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Поэтому векторы являются противоположными векторами и, следовательно,

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е.

Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Докажем его, например, для случая

Вектор перпендикулярен векторам а и b. Вектор также перпендикулярен векторам а и b, так как векторы а и b, и b лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают. Поэтому

Подобным же образом проводится доказательство и для случая

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством, т. е.

Вывод этой формулы мы здесь приводить не будем.

4. Если векторное произведение двух векторов равно нуль-вектору, то либо равен нуль-вектору один из перемножаемых векторов, либо равен нулю синус угла между ними, т. е. векторы коллинеарны.

Рис. 76

Обратно, если два ненулевых вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нуль-вектору.

Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора а и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нуль-вектору.

Отсюда, в частности, следует, что векторное произведение вектора на самого себя равно нуль-вектору:

Рассмотрим примеры на применение указанных свойств.

Пример 1. Найти .

Решение. Имеем:

Так как , то получаем

Призер 2. На векторах ОА и ОВ построен параллелограмм ОАСВ. Вычислить площадь параллелограмма OCDE, стороны которого ОЕ и ОС ргвны соответствующим диагоналям первого параллелограмма ОABC. При этом (рис. 76).

Решение. По определению векторного произведения

Так как , то .