7. Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся ряд

Как известно, его сумма S является пределом последовательности его частичных сумм при

Поэтому для достаточно больших имеем приближенное равенство

Точность этого равенства возрастает с увеличением . Для оценки точности приближенного равенства (45) введем понятие остатка сходящегося ряда.

Определение. Разность между суммой ряда S и его частичной суммой называется остатком сходящегося ряда (44), Остаток ряда обозначается

Как видно из равенства (46), остаток ряда представляет собой сумму сходящегося ряда, полученного из данного ряда отбрасыванием его первых членов:

Из определения остатка ряда ясно, что

Действительно,

(X)

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой очевидно, равна модулю остатка ряда:

Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до то надо взять сумму такого числа первых членов ряда, чтобы выполнялось неравенство Однако в большинстве случаев находить остаток точно мы не умеем. Поэтому выясним, как выбирать номер остатка , чтобы его модуль не превосходил заданного числа .

Оценка остатка знакоположительного ряда

Теорема 1. Если все члены сходящегося знакоположительного ряда

не превосходят соответствующих членов другого сходящегося знакоположительного ряда

то остаток ряда (49) не превосходит остатка ряда (50).

Доказательство. Обозначим через и остатки рядов (49) и (50)

Каждый из этих остатков является суммой сходящегося знакоположительного ряда.

Так как по условию , то на основании признака сравнения (п. 5, теорема 1) сумма первого ряда не превосходит суммы второго ряда, т. е.

Определение. Если даны два сходящихся ряда

причем члены ряда (Y) больше соответствующих членов ряда (U), то ряд (V) называется мажорирующим рядом по отношению к ряду

Из предыдущей теоремы следует, что остаток мажорирующего ряда всегда больше или равен остатку основного ряда.

Обычно в качестве мажорирующего ряда берут ряд, остаток которого можно легко вычислить (например, геометрическую прогрессию).

Тогда, по только что доказанной теореме, мы легко оценим остаток данного ряда.

Пример 1. Оценить третий остаток ряда

Решение. Каждый член этого ряда меньше соответствующего члена геометрической прогрессии

со знаменателем . Следовательно, третий остаток данного ряда меньше третьего остатка этой прогрессии:

Таким образом, сумма данного ряда отличается от суммы его трех первых членов меньше, чем на

Оценка остатка знакопеременного ряда

Теорема 2. Пусть дан абсолютно сходящийся знакопеременный ряд

Тогда абсолютная величина его остатка не превосходит остатка ряда, составленного из абсолютных величин членов этого ряда. Доказательство. Пусть знакопеременный ряд

сходится абсолютно. Это значит, что сходится и ряд

Рассмотрим остатки этих рядов

При любом имеем:

Переходя в этом неравенстве к пределу при , получим

или

Пример 2. Оценить третий остаток ряда

Решение. Данный ряд знакопеременный, так как, например,

Рассмотрим ряд

Этот ряд сходится, так как его члены не превосходят соответствующих членов геометрической прогрессии

Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

Обозначая остатки данного ряда, ряда, составленного из абсолютных величин, и геометрической прогрессии соответственно через , имеем

Таким образом, находим оценку третьего остатка данного ряда

Оценка остатка знакочередующегося ряда сходящегося по признаку Лейбница

Особенно проста оценка остатка в случае знакочередующегося ряда.

Теорема 3. Если знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, то его n-й остаток по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов.

Доказательство. Пусть ряд

сходится по признаку Лейбница.

Тогда остаток ряда

сам является суммой знакочередующегося ряда. На основании признака Лейбница остаток по абсолютной величине должен быть не больше первого члена ряда, т. е.

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда

Решение. Данный ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому

Так как сумма ряда должна быть вычислена с точностью до 0,01, то достаточно, чтобы выполнялось неравенство или

Это неравенство выполняется, начиная с . Таким образом,