10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат

Мы рассмотрели четыре кривые второго порядка: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Возникает вопрос: существуют ли иные линии, определяемые уравнением второй степени Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим примеры.

1) Уравнению второй степени относительно удовлетворяют координаты единственной точки (см. § 2, п. 2).

2) Уравнение может быть записано в виде и тогда становится ясным, что ему удовлетворяют координаты любой точки прямой и любой точки прямой (и только координаты этих точек). Прямые (биссектрисы координатных углов) пересекаются между собой в начале координат.

Уравнение есть уравнение двух пересекающихся прямых.

3) Уравнению которое можно записать в форме удовлетворяют координаты точек параллельных прямых (и только этих точек). Следовательно, уравнение есть уравнение двух параллельных прямых.

4) Уравнение может быть переписано в виде и, следовательно, равносильно уравнению прямой (биссектрисы I и III координатных углов). Условно мы будем говорить, что уравнение является уравнением двух слившихся прямых.

5) Наконец, может случиться, что уравнение второй степени относительно х и у не определяет никакой линии. Например, уравнению не удовлетворяют никакие действительные значения х и у, и, следовательно, оно не определяет никакого геометрического места точек.

Таким образом, в зависимости от значения коэффициентов уравнение второй степени (21)

может определять окружность, эллипс, гиперболу, параболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, пару слившихся прямых, точку и, наконец, может не определять никакой линии.

Можно показать, что это уравнение не может определять никакой линии, отличной от перечисленных выше.

Для того чтобы определить, какую линию определяет уравнение (21) при заданных численных значениях коэффициентов, пользуются преобразованиями поворота и параллельного переноса осей координат. В гл. III будет показано, что с помощью преобразования поворота осей всегда можно от уравнения (21) перейти к уравнению второй степени, не содержащему члена с произведением координат. А далее, с помощью преобразования параллельного переноса осей всегда можно получить простейшее уравнение кривой второго порядка и по нему определить вид кривой. Покажем на примере, как это делается.

Пример. С помощью параллельного переноса осей получить простейшее уравнение кривой и построить ее.

Решение. Для членов, содержащих , и членов, содержащих у, выполним следующие преобразования с выделением полного квадрата:

Данное уравнение теперь можно переписать так:

откуда

или

Выполним преобразование параллельного переноса осей с новым началом

Рис. 55

Тогда уравнение кривой примет вид

Это уравнение гиперболы с полуосями На рис. 55 эта кривая построена в системе координат Но можно отнести ее и к исходной системе координат которая также имеется на рис. 55.