3. Степенные ряды в комплексной области

Пусть дан степенной ряд

где а коэффициенты комплексные или действительные числа. Аналогично тому, как это было сделано для степенных рядов в действительной области, можно установить следующее.

1. Для каждого степенного ряда, вообще говоря, существует такое число что для всех степенной ряд сходится, для расходится. Точки комплексной плоскости, для которых лежат внутри круга радиуса R с центром в начале координат. Этот круг называется кругом сходимости степенного ряда, а его радиус - радиусом сходимости. Вне круга сходимости, т. е. в точках, где степенной ряд расходится. На границе круга сходимости, т. е. в точках, для которых в зависимости от конкретных видов ряда может иметь место сходимость или расходимость.

Замечание. Если степенной ряд сходится только в точке то его радиус сходимости полагают равным нулю Если степенной ряд сходится при всех значениях т. е. во всей плоскости комплексной переменной, то радиус сходимости полагают Г равным бесконечности:

2. Внутри круга сходимости степенной ряд обладает всеми свойствами, которыми обладают степенные ряды с действительными членами, т. е. внутри круга сходимости степенной ряд абсолютно сходится и его сумма есть непрерывная функция комплексной переменной; степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать, причем полученный ряд имеет тот же радиус сходимости, что и первоначальный. Эти утверждения мы не доказываем.

Функция комплексной переменной, которая может быть представлена как сумма степенного ряда в некотором круге сходимости, называется аналитической функцией в данном круге сходимости.

Круг сходимости можно найти с помощью признака Даламбера.

В качестве примера найдем область сходимости следующего ряда:

Рассмотрим ряд, состоящий модулей членов данного ряда:

Это знакоположительный ряд:

Итак, при любом Следовательно, ряд (108) сходится во всей плоскости комплексной переменной; но тогда по теореме п. 2 ряд (107) также сходится во всей плоскости комплексной переменной, причем сходится абсолютно.

С помощью степенных рядов в комплексной области обобщим понитие показательной и тригонометрических функций на случай комплексной переменной.

Как мы знаем, для любого вещественного значения имеет место разложение (93)

Рассмотрим ряд, получающийся из ряда (93), если в нем действительную переменную заменить комплексной переменной

Мы только что видели, что этот ряд сходится во всей плоскости комплексной переменной и его сумма является, таким образом, аналитической функцией, которая при действительных значениях (т. е. при ) совпадает с е. Обозначим сумму этого ряда и в случае комплексной переменной также . Таким образом, по определению

Можно показать, что для любых комплексных чисел гл и имеет место равенство

Дифференцируя ряд (109) почленно, получим

Сравнивая с равенством (109), полочим . Таким образом, функция в комплексной области обладает основными свойствами показательной функции. Аналогично определим тригонометрические функции для комплексных значений :

Эти ряды сходятся абсолютно для всех значений z. При (х — действительная переменная) определенные выше фуикции совпадают с функциями действительной переменной.

Между показательной функцией и тригонометрическими функциями имеется простая связь. Пусть где t — какое-то комплексное число. Подставим в ряд (109), тогда

Так как , то получим

Ряд (109) сходится абсолютно для любого значения z, следовательно сумма ряда не изменится от перестановки слагаемых. Поэтому

Но при любом

Следовательно,

где - любое комплексное число.

Заменяя в равенстве (112) t на найдем

Итак, для любого комплексного числа t имеем

Формулы (113) называются формулами Эйлера. Из этих формул легко находим

Пример. Найти .

Решение. По свойству показательной функции .

Применяя для вычисления формулу Эйлера при получим

В заключение заметим, что в комплексной плоскости функция является периодической с периодом . В самом деле