6. Геометрический смысл производной

В этом пункте мы выясним геометрический смысл производной, который окажется очень полезным при усвоении многих понятий математического анализа и при решении некоторых геометрические задач.

Рис. 132

С этой целью введем определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть на плоской кривой С задана точка . Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую (рис. 132). Если точка М начинает перемещаться по кривой С, а точка остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Допустим, что существует прямая L, проходящая через точку которая обладает следующим свойством: если точка М при перемещении ее по кривой С неограниченно приближается к точке (с любой ее стороны), то угол между прямой L и секущей стремится к кулю.

Тогда эта прямая L называется касательной к кривой С в точке .

Кратко говоря, касательная есть прямая, занимающая предельное положение секущей.

Замечание. Аналогично определяется касательная и к пространственной кривой.

Рассмотрим теперь график непрерывной функции имеющей в точке с абсциссой кевертикальную касательную (рис. 133).

Рис. 133

Найдем ее угловой коэффициент , где а — угол касательной с осью Для этого проведем через точку и точку М графика с абсциссой секущую. Ее угловой коэффициент

где — угол секущей с осью (рис. 133). При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, и поэтому точка М, перемещаясь по графику, неограниченно приближается к точке При этом секущая неограниченно приближается к касательной, т. е. и, следовательно, . Поэтому угловой коэффициент касательной

Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой равен значению производной этой функции в точке

Замечание. Мы показали, что если график непрерывной функции имеет певертикальную касательную в точке с абсциссой , то в этой точке существует производная равная угловому коэффициенту касательной

Можно показать, что и обратно, если в точке функция имеет производную, то ее график в точке с абсциссой имеет невертикальную касательную.

Пример. Найти угловой коэффициент касательной к параболе в точке .

Решение. Мы уже видели (см. п. 4, пример 2), что

Остается лишь заметить, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной этой функции в точке

Рис. 134

В конце п. 5 было установлено, что функции имеют производных в точке Для графика функции это связано с тем, что он в точке не имеет касательной (рис. 134). График функции в начале координат имеет касательную (ось Оу), но она перпендикулярна оси абсцисс, и ее угловой коэффициент не имеет конечного значения.