5. Применение теории максимума и минимума к решению задач

Изложенную теорию максимума и минимума функции можно применить к решению практических задач.

Пример 1. Из квадратного листа жести со стороной а требуется сделать открытый сверху ящик, возможно большего объема, вырезая равные квадратные уголки и загибая жесть (рис. 153). Какова должна быть сторона вырезаемых квадратных уголков?

Рис. 153

Рис. 154

Решение. Пусть сторона вырезаемого квадрата равна тогда сторона квадрата, образующего дно ящика, будет Объем ящика

Для решения этой задачи нужно найти, при каком эта функция имеет наибольшее значение на интервале Находим производную Приравниваем производную нулю и, решая уравнение, находим критические точки, принадлежащие интервалу

Отсюда

Так как при вторая производная отрицательна , то в точке объем достигает максимума:

Согласно замечанию п. 4, этот максимум функции является ее наибольшим значением. Итак, коробка будет иметь наибольший объем, если сторона вырезанного квадрата равна у.

Пример 2. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в данный прямой конус (рис. 154).

Решение. Пусть высота конуса ОВ и радиус основания конуса Высоту цилиндра ОС обозначим через у, а радиус основания OF через Объем цилиндра . В данном случае объем V зависит от двух переменных и у. Однако можно составить еще уравнение, связывающее эти переменные.

Из подобия треугольников АОВ и DCB находим

Отсюда

Подставляя это значение в выражение для объема цилиндра, получаем

Очевидно, что переменная у может принимать значения от 0 до А. Найдем наибольшее значение этой функции на интервале (0, h). Находим производную от функции V по переменной у:

Приравниваем производную нулю и находим критические точки на интервале :

не принадлежит интервалу .

Так как вторая производная при отрицательна, то при объем V имеет максимум. Это максимальное значение будет наибольшим.