3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Предположим, что областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу поверхностью , а сверху — поверхностью . Пусть это тело проектируется на плоскость в площадку а, ограниченную кривыми и прямыми (рис. 248).

Проведем через точку площадки а прямую, параллельную оси Эта прямая встретит нижнюю поверхность в некоторой точке М и верхнюю поверхность в точке N. Точку М назовем точкой входа, а точку - точкой выхода, а их аппликаты обозначим соответственно .

Тогда, если - непрерывная функция в области V, то, как можно доказать, значение тройного интеграла вычисляется по формуле

Смысл формулы (31) заключается в следующем.

Рис. 248

Для того чтобы вычислить тройной интеграл нужно сперва вычислить определенный интеграл считая у постоянными. Нижней границей интеграла является аппликата точки М входа: , а верхней границей интегрирования аппликата точки выхода N. Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных х и у. Интегрируя затем эту функцию по площадке а, являющейся проекцией области V на плоскость получим значение тройного интеграла.

Вычисляя двойной интеграл по площадке о от функции в декартовых координатах (см. § 1, п. 4, формулу (I)), получим

Таким образом,

Опуская фигурные скобки, формулы (31) и (32) обычно пишут в виде

или

Если область V более сложная, чем рассмотренная, то ее разбивают на конечное число областей указанного вида и к каждой из них применяют формулу (33). Интеграл же по всей области в силу свойства аддитивности равен сумме интегралов по каждой из областей V

Рис. 249

Пример. Вычислить тройной интеграл если областью интегрирования V служит пирамида, ограниченная плоскостями (рис. 249).

Решение. Площадка 0, в которую проектируется пирамида, есть треугольник плоскости ограниченный прямыми . Так как , то на основании формулы (33) имеем

Вычисляя последовательно интегралы, получим

Итак,