§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

В этом параграфе мы очень кратко рассмотрим линейные дифференциальные уравнения высших порядков. При этом доказательства свойств решений этих уравнений приводиться не будут, так как они аналогичны соответствующим доказательствам для уравнений второго порядка.

1. Определения и общие свойства

Определение. Дифференциальное уравнение вида

называется линейным дифференциальным уравнением порядка.

Здесь коэффициенты и свободный член -заданные функции аргумента

Если , то линейное уравнение принимает вид

и называется линейным однородным уравнением (или уравнением без правой части). Если же , то уравнение называется неоднородным уравнением (или уравнением с правой частью).

Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения порядка формулируется аналогично теореме существования и единственности решения для линейного уравнения второго порядка.

Теорема. Если коэффициенты и правая часть линейного уравнения (82) непрерывны на интервале , причем коэффициент не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то каковы бы ни были начальные условия

существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.

Пусть каких-либо частных решений однородного линейного уравнения (83). Определитель

называется определителем Вронского.

Определение. Частные решения однородного линейного дифференциального уравнения порядка образуют фундаментальную систему частных решений на некотором интервале ресли ни в одной точке этого интервала определитель Вронского не обращается в нуль.

Как и в случае линейных уравнений второго порядка, для линейных уравнений порядка имеют место следующие теоремы о структуре общего решения.

Теорема 1. Если частные решения однородного линейного уравнения Порядка (83), образующие на интервале фундаментальную систему частных решений, то общее решение этого уравнения имеет вид

Теорема 2. Если — частное решение линейного неоднородного уравнения - общее решение соответствующего однородного уравнения (83). то функция является общим решением неоднородного дифференциального уравнения (82).