ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении мы решали следующую основную задачу: по данной функции найти ее производную. Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи: для данной функции найти такую функцию производная которой равнялась бы заданной функции , т. е.

Поставленную задачу можно сформулировать в следующей равносильной ей форме: для данной функции найти такую функцию дифференциал которой равнялся бы заданному выражению

Функция связанная с функцией соотношением (1) или (2), называется ее первообразной.

Таким образом, мы пришли к следующему определению.

Определение. Первообразной функцией от данной функции называется функция, производная которой равна данной функции или, что то же самое, дифференциал которой равен выражению

Так, например, первообразной от функции будет функция , так как или, что то же самое,

Отыскание по данной функции ее первообразной составляет одну из основных задач интегрального исчисления.

Естественно, возникает следующий вопрос: для всякой ли функции существует первообразная?

Утвердительный ответ на этот вопрос для достаточно широкого класса функций дает следующая теорема, принимаемая нами пока без доказательства.

Теорема 1. Любая непрерывная на сегменте функция имеет на этом сегменте первообразную.

Если функция, для которой мы ищем первообразную, имеет точки разрыва, то мы будем ее рассматривать только в тех интервалах, где она непрерывна.

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается не однозначно. В самом деле, если, например, , то первообразной для нее является не только у, но также и , и вообще , где С — некоторая произвольно выбранная постоянная. Поэтому, естественно, возникает вопрос об отыскании всех первообразных для данной функции.

Исчерпывающий ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 2. Если функция есть первообразная от функции на сегменте , то всякая другая первообразная от отличается от на постоянное слагаемое, т. е. может быть представлена в виде , где С — постоянная.

Доказательство. Пусть - любая другая первообразная функция от тогда Но если две функции на сегменте имеют равные производные, то разность этих функций постоянна на данном сегменте (см. гл. VI, § 6, п. 3), т. е. , где С — постоянная. Таким образом, Тем самым теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что выражение , где — некоторая первообразная от функции а С — произвольная постоянная, охватывает совокупность всех первообразных от данной функции.

Введем теперь понятие неопределенного интеграла.

Если - одна из первообразных для функции ), то выражение , где С — произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом.

Неопределенный интеграл от функции обозначается символом (читается: «неопределенный интеграл ) на . Следовательно,

Здесь называется подынтегральной функцией, -подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, а символ — знаком неопределенного интеграла. Под знаком интеграла мы пишем не производную искомой функции, а ее дифференциал.

Так как, например, функция является одной из первообразных от функции то на основании формулы (3) получим

Действие отыскания неопределенного интеграла или, что то же самое, нахождение всех первообразных от данной функции, называется интегрированием этой функции.

Из самого определения первообразной следует, что дифференциал этой первообразной равен подынтегральному выражению.

Так как это имеет место для любой первообразной от данной функции, то кратко это можно выразить следующим образом.

Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

Отметим еще одно свойство, которое, как и первое, устанавливает связь между операциями дифференцирования и интегрирования.

Пусть первообразная от . Тогда

Но . Поэтому равенство (3) часто записывают в виде

Таким образом, неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

Например: .

Указанные свойства означают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями.