2. Интегрирование методом замены переменной

Во многих случаях удается введением вместо переменной интегрирования новой переменной свести данный интеграл к новому интегралу, который или содержится в таблице основных интегралов, или легко вычисляется другим способом. Этод метод интегрирования получил название метода замены переменной или метода интегрирования подстановкой.

Введем вместо новую переменную z, связанную с соотношением , где — непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную . Покажем, что имеет место равенство

Формула (7) называется формулой замены переменной. Для доказательства справедливости формулы (7), очевидно, достаточно убедиться, что дифференциалы обеих ее частей равны.

Дифференцируя левую часть соотношения (7), имеем

Но так как , то . Поэтому

С другой стороны, дифференцируя правую часть соотношения (7), имеем

Соотношения (8) и (9) показывают, что

Тем самым справедливость формулы (7) доказана.

Допустим, что интеграл, стоящий в правой части соотношения (7), найден. Пусть

Отсюда легко найти искомый интеграл в виде функции от . Для этого разрешим уравнение относительно z, т. е. найдем обратную функцию и подставим ее в

Замечание. Формулу (7) легко запомнить. Ее правая часть получается, если в интеграле заменить на

Приведем примеры.

Пример 1. Найти .

Решение. Положим , находим . Применяя формулу (7), получаем

но , согласно формуле VIII, § 1, п. 3. Поэтому

Возвращаясь снова к переменной , получим

(VIII)

Применяя ту же замену переменной , легко получить формулу

Пример 2. Найти .

Решение. Полагая и применяя формулу (7), имеем

Рассмотрим еще один способ применения формулы замены переменной. Если под интегралом стоит сложная функция, умноженная на производную от внутренней функции, т. е. интеграл имеет вид то этот интеграл часто можно упростить, если заменить внутреннюю функцию новой переменной . В самом деле, применяя тогда формулу (7) замены переменной, получим

Заметим, что полученная формула отличается от формулы (7) только обозначением независимых переменных.

Пример 3. Найти .

Решение. Имеем . Замечая, что , положим Тогда

Таким образом,

Аналогично находим

С приобретением навыка при интегрировании с помощью замены переменной можно не производить в простейших интегралах подробно всех выкладок.

Пример 4. Найти

Решение. Замечая, получим . Поэтому

Часто применяют одновременно метод интегрирования разложением и метод замены переменной.

Рассмотрим интегралы вида

Эти интегралы вычисляются методом разложения на основании следующих тригонометрических тождеств:

Пример