Главная > Математика > Краткий курс высшей математики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Инвариантность формы полного дифференциала

Как известно, для дифференциала функции одной переменной имеет место инвариантность его формы. Это значит, что выражение для дифференциала

остается верным независимо от того, является ли х независимой переменной или функцией некоторой переменной: (см. гл. VI, § 3, п. 4).

Для функции нескольких переменных справедливо аналогичное утверждение: полный дифференциал функции переменных сохраняет свою форму

независимо от того, являются ли независимыми переменными или функциями других переменных.

Мы ограничимся доказательством этого утверждения только для случая функции двух переменных . Как известно, если и у являются независимыми переменными, полный дифференциал имеет следующий вид:

Покажем, что эта форма дифференциала сохраняется, когда становятся функциями новых переменных: Тогда z является сложной функцией и дифференциал этой сложной функции выражается формулой

Но по формулам (33) и (34)

Следовательно,

так как

Следовательно, полный дифференциал не изменяет своей формы:

когда х и у становятся функциями других переменных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление