2. Инвариантность формы полного дифференциала

Как известно, для дифференциала функции одной переменной имеет место инвариантность его формы. Это значит, что выражение для дифференциала

остается верным независимо от того, является ли х независимой переменной или функцией некоторой переменной: (см. гл. VI, § 3, п. 4).

Для функции нескольких переменных справедливо аналогичное утверждение: полный дифференциал функции переменных сохраняет свою форму

независимо от того, являются ли независимыми переменными или функциями других переменных.

Мы ограничимся доказательством этого утверждения только для случая функции двух переменных . Как известно, если и у являются независимыми переменными, полный дифференциал имеет следующий вид:

Покажем, что эта форма дифференциала сохраняется, когда становятся функциями новых переменных: Тогда z является сложной функцией и дифференциал этой сложной функции выражается формулой

Но по формулам (33) и (34)

Следовательно,

так как

Следовательно, полный дифференциал не изменяет своей формы:

когда х и у становятся функциями других переменных.