§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Большое количество задач математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к особому виду дифференциальных уравнений, так называемым линейным уравнениям. Линейные уравнения первого порядка рассматривались в § I, п. 5.

В этом параграфе будет изложена теория линейных уравнений второго порядка.

1. Определения и общие свойства

Определение. Дифференциальное уравнение вида

называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Здесь коэффициенты уравнения и свободный член -заданные функции аргумента . Если , то линейное уравнение принимает вид

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением (или уравнением без правой части). Если же , то уравнение (44) называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением (или уравнением с правой частью).

Например, уравнения:

будут линейными уравнениями, причем первое из них неоднородное, а второе — однородное.

Уравнения

не принадлежат к виду (44) и не будут линейными. Первое из них содержит квадрат производной, а второе — член с произведением второй производной на искомую функцию.

Разрешим уравнение (44) относительно :

Так как это уравнение является частным видом дифференциального уравнения , то для него справедлива теорема существования и единственности решения Коши, сформулированная в предыдущем параграфе. Однако для линейного уравнения эта теорема может быть сформулирована проще.

Действительно, допустим, что коэффициенты уравнения и свободный член непрерывны на некотором интервале , причем коэффициент не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала. Тогда правая часть уравнения (46)

и ее частные производные

будут непрерывными функциями при любых значениях переменных и при значениях принадлежащих интервалу . Поэтому уравнение (46) удовлетворяет условиям теоремы Коши. На основании сказанного сформулируем теперь теорему существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения (44).

Теорема. Если коэффициенты и правая часть линейного уравнения (44) непрерывны на интервале , причем коэффициент не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то каковы бы ни были начальные условия точка принадлежит интервалу , существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.