2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений.

Теорема 1. Если функции являются решениями линейного однородного уравнения (45), то и функция также является решением этого уравнения при любых значениях постоянных

Доказательство. Подставив функцию и ее производные в левую часть уравнения (45), получим

так как функции являются решениями уравнения (45) и, следовательно, последние два выражения в квадратных скобках равны нулю.

Так как общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные то возникает вопрос, не будет ли решение общим решением уравнения (45).

Покажем, что это не всегда имеет место. Так, например, уравнение удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения при любых начальных условиях (см. стр. 590). Это уравнение имеет, как легко проверить, частные решения . Однако их линейная комбинация являясь решением данного уравнения, не будет его общим решением. Действительно, нетрудно убедиться в том, что функция удовлетворяющая начальным условиям является решением (единственным) уравнения . Однако это решение нельзя получить из линейной комбинации так как уже первое начальное условие для функции не выполняется ни при каких значениях .

Определение 1. Два частных решения однородного линейного дифференциального уравнения, второго порядка образуют фундаментальную систему решений на некотором интервале , если ни в одной точке этого интервала определитель

не обращается в нуль.

Определитель называется определителем Вронского (или вронскианом).

Пример 1. Выше мы указали, что уравнение имеет своими частными решениями функции . Легко убедиться, что первое и второе решение не образует фундаментальной системы, а первое и третье образуют фундаментальную систему на всей числовой оси. Действительно,

и

Пример 2. Легко проверить, что уравнение

имеет частные решения

Эти решения образуют фундаментальную систему на любом интервале, не содержащем точку Действительно,

т. е. определитель Вронского не обращается в нуль при .

Замечание. Очевидно, всякое линейное однородное уравнение имеет решение . Однако это решение ни с одним другим частным решением фундаментальной системы не образует, так как в этом случае определитель Вронского тождественно равен нулю:

Ответ на поставленный выше вопрос о виде общего решения однородного линейного уравнения дает следующая теорема.

Теорема 2 (о структуре общего решения). Если два частных решения уравнения (45) образуют на интервале фундаментальную систему, то общее решение этого уравнения имеет вид

При этом предполагается, что коэффициенты непрерывны и на интервале .

Доказательство. Прежде всего заметим, что при любых функция на основании теоремы 1 является решением уравнения (45). Поэтому, чтобы убедиться, что это решение является общим, остается показать, что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

где точка принадлежит интервалу произвольны.

Пусть - либо частное решение уравнения (45), удовлетворяющее начальным условиям (49). Покажем, что оно может быть выделено из решения (48) надлежащим выбором постоянных . Действительно, так как , то, подставляя начальные условия, получим

Эти равенства представляют собой систему уравнений с неизвестными

Определитель этой системы

равен значению определителя Вронского при

Так как по условию частные решения образуют фундаментальную систему частных решений на интервале , которому принадлежит точка , то . Поэтому для неизвестных получим следующие единственные значения:

Полученное частное решение в силу теоремы единственности будет совпадать с решением Итак, показано, что если образуют фундаментальную систему частных решений, то общее решение имеет вид

Из доказанной теоремы следует, что для нахождения общего решения достаточно знать два его частных решения, образующие фундаментальную систему.

Примерз. Рассмотрим уравнение Как мы видели в примере 2, функции образуют фундаментальную систему решений на любом интервале, не содержащем точку Поэтому на основании теоремы 2 общее решение этого уравнения имеет вид Найдем частное решение данного уравнения при следующих начальных условиях: . Так как , то, подставляя начальные условия, получим систему уравнений для определения постоянных

Решая эту систему, находим Таким образом, искомое частное решение имеет вид