3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям

I. Полным дифференциалом функции нескольких переменных можно пользоваться для приближенных вычислений. Пусть дана дифференцируемая функция . Ее полное приращение выражается формулой

Здесь стремится к нулю быстрее, чем Поэтому при малых , т. е. при малых слагаемым можно пренебречь и писать:

т. е. приращение функции приближенно можно заменить ее полным дифференциалом.

Так как z=f(x, у), то

Подставляя это выражение для в формулу (21), получим

откуда

Формулой (22) можно пользоваться для приближенных вычислений значений функции двух переменных в точке близкой к точке , если известны значения функции и ее частных производных в самой точке .

Аналогичные формулы можно вывести для функции переменных при Например, при получим

Пример 1. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала

Решение. Рассмотрим функцию Применяя формулу (22) к этой функции, получим

или

Положим теперь тогда Следовательно,

или

Пример 2. Центральный угол кругового сектора, равный 80°, желают уменьшить на 15. Насколько надо удлинить радиус для того чтобы компенсировать изменение площади?

Решение. Площадь S кругового сектора выражается формулой

где — радиус круга, а — центральный угол в градусах.

Если изменение (приращение) площади заменить (приближенно) полным дифференциалом, то

По условию, при уменьшении центрального угла и увеличении радиуса должно равняться нулю. Поэтому полагаем

откуда

Положив получим

Замечание. Можно показать, что ошибка, получающаяся при применении приближенной формулы (22), не превосходит числа

где М — наибольшее значение абсолютных величин вторых частных производных при изменении аргументов соответственно от до и от у до

II. Покажем, как применяется дифференциал функции нескольких переменных к нахождению границ абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях (см. гл. VI, § 3, п. 5).

Пусть величина и является дифференцируемой и положительной функцией трех (для определенности) переменных

Предположим, что точные значения ее аргументов неизвестны, но зато известны их приближенные значения и границы абсолютных погрешностей Как найти границы абсолютной и относительной погрешностей функции и, вычисляемой по формуле

Введя обозначения согласно определению границы абсолютной погрешностей, получим

Абсолютная погрешность функции и равна, очевидно, модулю ее приращения и приближенно равна модулю полного дифференциала и:

По свойству абсолютных величин

Поэтому, учитывая формулы (25), получим

Это означает, что число

можно принять за границу абсолютной погрешности .

По определению границы относительной погрешности будем иметь:

Заметив, что

получим

Выражение, стоящее в правой части этого равенства является границей абсолютной погрешности функции .

Поэтому

т. е. за границу относительной погрешности некоторой функции можно принять границу абсолютной погрешности натурального логарифма этой функции.

Рассмотрим пример.

Как известно из физики, период колебания маятника Т определяется равенством в котором — приведенная длина маятника, a -ускорение силы тяжести. Разрешая это равенство относительно g, получим

Формулой (28) пользуются для вычисления ускорения силы тяжести в различных точках земной поверхности, измеряя в этих точках приведенную длину маятника и период его колебания Т. Пусть в результате измерений получены следующие приближенные значения для . Предположим также, что известны границы абсолютной погрешности . Требуется вычислить по формуле (28) ускорение силы тяжести g и найти границы абсолютной и относительной погрешностей найденного значения

При определении погрешностей следует учесть, что в формуле (28) приходится брать приближенное значение числа . Возьмем это число с точностью до 0,0001, т. е. положим Тогда по формулам (27) и (26) получим

т. e. граница относительной погрешности равна 0,040%.

Найдем теперь по формуле (28) приближенное значение

Так как

то

В заключение рассмотрим некоторые правила приближенных вычислений, которые мы получим как следствие формул (26) и (27).

Пусть при измерении или вычислений положительных величин х и у получены приближенные значения с границами абсолютных погрешностей соответственно

1) Если то по формуле (26) получим

так как

Таким образом, граница абсолютной погрешности суммы равна сумме границ абсолютных погрешностей слагаемых.

так как

Итак, граница абсолютной погрешности разности равна сумме границ абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

3) Если то и поэтому

Применяя формулу (27), получим

т. е. граница относительной погрешности произведения равна сумме границ относительных погрешностей сомножителей.

4) Если то аналогично легко получить

т. е. граница относительной погрешности частного равна сумме границ относительных погрешностей делимого и делителя.