3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

Определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Решим систему (33). Для этого умножим почленно первое уравнение системы на алгебраическое дополнение Ли элемента второе уравнение на алгебраическое дополнение элемента и третье уравнение на алгебраическое дополнение элемента

Сложим все эти уравнения:

По первой из формул (16), § 1, п. 2 имеем:

Коэффициенты при у и по формулам (18) § 1, п. 2 равны нулю. Таким образом, равенство (34) примет вид

Рассмотрим определитель

получающийся из определителя системы А, если в нем коэффициенты при заменить свободными членами Разложим этот определитель по элементам первого столбца. Замечая, что в этом определителе алгебраические дополнения элементов совпадают с соответствующими алгебраическими дополнениями элементов определителя А, получим

Сравнивая (35) и (34), находим

Аналогично выводятся равенства

где

Определители А и получаются из определителя системы А, если в нем заменить соответственно коэффициенты при свободными членами.

Предполагая, что определитель системы из равенств (36) и (37) найдем

Непосредственной проверкой можно убедиться, что значения , найденные по формулам (38), являются решениями системы . Формулы (38), как и формулы (25), называются формулами Крамера.

Аналогичные формулы имеют место для систем уравнений первой степени с большим числом неизвестных.

Пример 1. Решить систему

Решение. Здесь

По формулам (38) находим

Если определитель системы и по крайней мере один из определителей не равен нулю, то система (33) не имеет решения (несовместна). Действительно, пусть для определенности Тогда равенство (36) невозможно, так как его левая часть при любом а правая часть .

Пример 2. Система уравнений

не имеет решения, так как

Наконец, отметим без доказательства, что если , то система (33) либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений.

Проиллюстрируем это на примерах.

Пример 3. Рассмотрим систему

Здесь . Данная система не имеет решения, так как, например, первое и третье уравнения этой системы противоречивы. Действительно, умножая первое уравнение на 3 и вычитая третье уравнение, придем к невозможному равенству Пример 4. Для системы

Так как второе уравнение получается умножением на 2 первого уравнения, то указанная система равносильна системе двух уравнений:

и имеет бесчисленное множество решений.

Задавая произвольные значения будем получать соответствующие значения у Например, при получаем систему

решая которую, найдем при , найдем и т. д.