9. Производная обратной функции

Пусть функция монотонна в некотором интервале и имеет в точке у этого интервала производную не равную нулю. Покажем, что в соответствующей точке обратная функция имеет производную причем

Так как по условию функция монотонна и дифференцируема (а следовательно, и непрерывна), то по теореме о существовании обратной функций (см. гл. V, § 2, п. 4) функция существует, монотонна и непрерывна. Дадим аргументу приращение Тогда функция получит приращение , которое в силу ее монотонности будет отличным от нуля. Кроме того, вследствие непрерывности функции при также будет стремиться к нулю. Следовательно,

Формулу (32) можно записать в следующем виде: