§ 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Если отвлечься от конкретного содержания задач, разобранных в § 1, то легко заметить, что при их решении применялся один и тот же прием, сводившийся, в конечном счете, к нахождению предела определенного вида сумм.

Решение каждой задачи было связано с некоторым действием, производимым над заданной на сегменте непрерывной функцией. В частности, в задаче о нахождении площади криволинейной трапеции такой функцией являлась переменная ордината кривой, в задаче о нахождении работы — переменная сила. К нахождению предела сумм, аналогичных рассмотренным выше, приводит целый ряд задач естествознания. Поэтому вполне естественно изучить этот процесс независимо от конкретного содержания той или иной задачи.

1. Интегральная сумма. Определенный интеграл

Пусть на сегменте задана функция . Выполним следующие действия.

1. С помощью точек деления разобьем сегмент на «малых» сегментов (см. рис. 175):

2. В каждом из малых сегментов выберем произвольную точку и умножим значение функции в точке на длину соответствующего сегмента:

3. Составим сумму всех таких произведений:

или в сокращенной записи:

Сумма вида (11) называется интегральной суммой.

4. Назовем наибольшую из длин малых сегментов шагом разбиения и обозначим его через .

Пусть число сегментов разбиения неограниченно растет и . Если при этом интегральная сумма имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения сегмента на малые сегменты ни от выбора точек в каждом них, то это число называется определенным интегралом от функции на сегменте и обозначается символом (читается так: «определенный интеграл от а до b от на ).

Таким образом,

Числа а и b называют соответственно нижней и верхней границами интегрирования, — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования, а сегмент -сегментом интегрирования (или областью интегрирования).

Таким образом, приходим к следующему определению. Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к нулю.

Функция для которой на сегменте существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом сегменте.

Сделаем некоторые важные замечания.

Замечание 1. Для заданной функции и заданного сегмента [а, b] мы, очевидно, имеем бесконечное множество интегральных сумм. Значения этих интегральных сумм зависят как от выбора точек деления так и от выбора промежуточных точек

Замечание 2. Если функция не отрицательна на сегменте то как интегральная сумма, так и ее слагаемые, имеют простой геометрический смысл. В самом деле, произведение численно равно площади прямоугольника, имеющего основанием сегмент а высотой — ординату кривой в точке (см. рис. 173). Построив над каждым малым сегментом прямоугольник с высотой получим ступенчатую фигуру, площадь которой равна интегральной сумме соответствующей данному разбиению сегмента на части и данному выбору точек (см. рис. 172).

Возвращаясь теперь к задачам § 1, мы видим, что:

1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой где для всех на сегменте , чнсленно равна определенному интегралу от функции взятому по сегменту

Этот факт, выражающий геометрический смысл определенного интеграла, кратко формулируется так: определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

2. Работа Е переменной силы, величина которой равна определенному интегралу от силы, т. е.

Рассмотрим пример на вычисление определенного интеграла.

Пример, Вычислить интеграл

Решение. Разобьем сегмент на произвольных частей точками деления и построим соответствующую интегральную сумму. Так как подынтегральная функция постоянна и тождественно равна единице, то при любом выборе промежуточных точек h будем иметь:

Таким образом, любая интегральная сумма для данной функции равна , а следовательно, и ее предел (т. е. определенный интеграл) также равен

Замечание 3. Интегральная сумма (11), очевидно, не зависит от того, какой буквой обозначен аргумент данной функции. Следовательно, и ее предел, т. е. определенный интеграл, не зависит от обозначения переменной интегрирования:

Замечание 4. При определении интеграла мы исходили из предположения, что нижняя граница а меньше верхней границы

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда При по определению полагаем

Это кратко выражают так: при перестановке границ интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный.

Определенный интеграл с равными нижней и верхней границами по определению принимается равным нулю:

В связи с определением определенного интеграла возникает вопрос, при каких условиях существует предел интегральной суммы, т. е. существует определенный интеграл.

Имеет место теорема существования, которую мы приведем без доказательства.

Теорема существования определенного интеграла. Всякая непрерывная на сегменте функция интегрируема, т. е. для такой функции существует предел интегральных сумм при стремлении шага разбиения к нулю.

Таким образом, для интегрируемости функции достаточно ее непрерывности на данном сегменте. Однако, определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций. Например, можно доказать, что для всякой ограниченной на сегменте функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва, существует определенный интеграл.