§ 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

1. Основные определения

При переходе из одной точки прямой в другую касательная (которая совпадает с самой прямой) не изменяет своего направления, при переходе же из одной точки в другую по кривой касательная поворачивается на некоторый угол, что объясняется «искривленностью» кривой.

Рис. 197

Рис. 198

Рис. 199

В этом основное различие между прямой линией и кривой. Сравним теперь между собой две различные кривые линии (рис. 197). Интуитивно ясно, что кривая более искривлена, чем кривая II. Однако для того чтобы строго оценить степень искривленности той или иной кривой, надо дать математически точное определение кривизны.

Пусть дана кривая. Рассмотрим на этой кривой дугу длины (рис. 198). Проведем в точках М и М, касательные к кривой. При переходе по кривой из точки М в точку касательная поворачивается на угол который называется углом смежности. Этот угол мы считаем положительным.

Определение. Средней кривизной дуги ММ, называется отношение угла смежности к длине этой дуги:

Пример. Найти среднюю кривизну дуги ММ, окружности радиуса R (рис. 199).

Решение. Угол между касательными к окружности в точках М и очевидно, равен центральному углу между радиусами ОМ и . Длина дуги ММ, окружности

Следовательно, средняя кривизна дуги

Итак, средняя кривизна любой дуги данной окружности есть величина постоянная, обратная ее радиусу. Однако, в общем случае, средняя кривизна может оказаться неодинаковой на различных участках кривой. Для того чтобы охарактеризовать искривленность линии в окрестности данной точки, нужно брать среднюю кривизну для все более и более мелких участков дуги, содержащих данную точку. Таким образом, мы естественно приходим к понятию кривизны кривой в данной точке.

Определение. Кривизной данной кривой в ее точке М называется предел средней кривизны дуги при условиих что точка неограниченно приближается по данной кривой к точке М.

Обозначив через К кривизну кривой в точке М, получим по определению

В частности, кривизна окружности радиуса R в точке

Таким образом, в любой точке окружности кривизна имеет одно и то же значение, равное обратной величине радиуса:

Предоставляем читателю доказать, что кривизна прямой в любой ее точке равна нулю.