6. Дифференциал дуги

Пусть в формуле (49) для длины дуги нижняя граница а остается постоянной, а верхняя граница изменяется. Чтобы подчеркнуть это, обозначим верхнюю границу буквой а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхней границей, — буквой t. Если при этом учесть, что длина дуги I будет функцией верхней границы, то формулу (49) можно записать в следующем виде:

Согласно теореме о производной интеграла по верхней границе эта функция дифференцируема, и ее производная

Отсюда дифферинциал дуги

или, в сокращенной записи,

Так как или

Пользуясь формулой (56) и учитывая, что дифференциал функции равен приращению ординаты касательной (см. гл. VI, § 3, п. 1), приходим к следующему геометрическому смыслу дифференциала дуги (рис. 193): дифференциал дуги равен длине отрезка касательной от точки касания М с абсциссой до точки с абсцисс

Рис. 193

Рис. 194

В гл. VI (§ 5, п. 4) была использована теорема, принятая без доказательства, о пределе отношения длины дуги к длине стягивающей ее хорды. Докажем теперь эту теорему. Для простоты доказательства ограничимся случаем плоской кривой, заданной уравнением

Теорема. Пусть дуга задана уравнением причем и - непрерывные функции. Тогда предел отношения длины этой дуги к длине стягивающей ее хорды равен единице при стремлении длины хорды к нулю.

Доказательство. Рассмотрим участок дуги кривой между точками А и В с абсциссами (рис. 194). Длина дуги

Применяя теорему о среднем (см. формулу (21)), получим

С другой стороны, длина стягивающей хорды где (см. формулу ). Замечая, что при стремятся к получим