5. Дифференцируемость функции

Определение 1. Функция имеющая производную в точке называется дифференцируемой в этой точке.

Определение 2. Функция называется дифференцируемой в интервале если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Например, функция дифференцируема (т. е. имеет производную) в любой точке следовательно, ее можно назвать дифференцируемой в бесконечном интервале т. е. на всей числовой оси.

Докажем следующую теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то от в этой точке непрерывна.

Доказательство. Пусть аргумент получает в точке приращение не равное нулю. Ему соответствует некоторое приращение функции . Рассмотрим очевидное тождество . Переходя к пределу, получим:

откуда и следует, согласно п. 2, непрерывность функции в точке

Обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию

В точке функция непрерывна, так как

Покажем, что функция не имеет производной в точке Прежде всего отметим, что в точке

Справа от нуля . Поэтому

Слева от нуля . Поэтому

Таким образом, отношение при справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что при отношение предела не имеет, т. е. производная в точке не существует.

Рассмотрим еще один пример. Функция непрерывна на всей числовой оси и, в частности, при Покажем, что в точке эта функция не имеет производной. В самом деле, в точке приращению аргумента соответствует приращение функции

Следовательно,

Переходя к пределу, получим

Это значит, что функция в точке не имеет производной.