3. Конические поверхности

Конической поверхностью называется поверхность, составленная всеми прямыми, пересекающилш данную линию L и проходящими через данную точку Р. При этом линия L называется направляющей конической поверхности, точка Р — ее вершиной, а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность, — образующей.

В качестве примера рассмотрим коническую поверхность с вершиной в начале координат, для которой направляющей является эллипс

с полуосями а и b, лежащий в плоскости

Эта поверхность называется конусом второго порядка. Выведем ее уравнение.

Рассмотрим произвольно выбранную точку конической поверхности и проведем через нее образующую ОМ, пересекающуюся с направляющей в точке (рис. 94). Составим уравнение прямой ОМ, проходящей через точки (см. § 2, п. 5):

или

Отсюда . Подставив эти выражения во второе из уравнений эллипса (46), получим или после преобразований

Рис. 91

Мы получили уравнение конуса второго порядка. В частности, если а то направляющей является окружность

а поверхность является прямым круговым конусом. Его уравнение