4. Поверхность вращения

Пусть линия L, лежащая в плоскости задана уравнениями

Рассмотрим поверхность, образованную вращением этой линии относительно оси (рис. 95) .

Эта поверхность называется поверхностью вращения. Найдем ее уравнение. Пусть — произвольно выбранная точка поверхности вращения. Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси и обозначим точки пересечения этой плоскости с осью и кривой L соответственно через К и N. Отрезки КМ и KN являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому . Но длина отрезка KN равна абсолютной величине ординаты У точки а КМ ОР Следовательно, или Кроме того, аппликата Z точки N, очевидно, равна аппликате z точки М:

Рис. 95

Так как точка N лежит на линии L, заданной уравнениями (49), то координаты Y и Z точки N удовлетворяют второму из этих уравнений. Подставляя в него вместо Y и Z соответственно равные им величины , получим уравнение

которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности вращения. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (50) не удовлетворяют. Таким образом, уравнение (50) является уравнением поверхности вращения относительно оси линии L, определяемой уравнениями (49). Уравнение (50) получается из второго уравнения системы (49) заменой в нем координат Y и Z координатами по формулам

Замечание. Мы считали, что кривая L задана в плоскости и вращается относительно оси Однако кривая L может быть задана и в другой координатной плоскости и может вращаться относительно другой координатной оси. Формулы, подобные формулам (49), (50) и (51), читатель легко составит сам.

Пример 1. Найти уравнение поверхности вращения эллипса

относительно оси

Решение.

Записав уравнение эллипса в виде и заменяя в нем по формулам (51) У и Z текущими коордииатами х, у и z поверхности вращения, получим искомое уравнение

или

Полученная поверхность называется эллипсоидом вращения.

5. Эллипсоид

Поверхность, определяемая уравнением

называется эллипсоидом. Числа а, b и с называются полуосями эллипсоида. Так как в уравнение (53) текущие координаты входят в четных степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей. Чтобы установить форму эллипсоида, будем пересекать его плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Покажем, что если пересечь эллипсоид плоскостью то в сечении получится эллипс L. В самом деле, исключая из уравнений

аппликату , получим уравнение цилиндрической поверхности, проектирующей сечение L на плоскость Оху:

Из этого уравнения видно, что кривая L есть эллипс с полуосями

Из формул (54) видно, что с возрастанием полуоси эллипса а и b уменьшаются. При и сечение вырождается в точку. При эллипсоид с плоскостью очевидно, не пересекается. Аналогично можно показать, что при пересечении эллипсоида плоскостями также получатся эллипсы. Эллипсоид имеет вид, изображенный на рис. 96.

Рис. 96

В частном случае при получаем эллипсоид вращения

(см. формулу (52)). Если все три полуоси равны между собой, то получится сфера