4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора

Пусть функция является суммой степенного ряда

интервал сходимости которого .

В этом случае говорят, что функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки а или по степеням Найдем коэффициенты этого степенного ряда.

Мы знаем, что в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать, причем в результате получается ряд, имеющий тот же интервал сходимости , что и исходный ряд. Последовательно дифференцируя тождество (80), получим тождества, справедливые для любого из интервала сходимости

Полагая в полученных тождествах , получим

Отсюда находим коэффициенты степенного ряда:

или

Подставляя найденные значения коэффициентов в равенство (80), получим

Итак, если функция разлагается в степенной ряд по степеням то этот ряд имеет следующий вид:

Полученный ряд (81) называется рядом Тейлора для функции . В частном случае, при ряд (81) принимает вид

Этот ряд называется рядом Маклорена для функции

Таким образом, если функция разлагается в ряд по степеням то этот ряд является ее рядом Тейлора (или рядом Маклорена, если

Как мы видим, если функция разлагается в степенной ряд по степеням то она имеет производные всех порядков в точке или, как говорят, бесконечно дифференцируема в точке а.

Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть дана бесконечно дифференцируемая в точке а функция Составим для нее формально ряд Тейлора

Поставим следующий вопрос: будет ли сумма данного ряда Тейлора совпадать с функцией для которой он составлен? Как показывают примеры, это не всегда так.

Пример.. Рассмотрим функцию определенную следующим образом:

Можно показать, что в точке эта функция имеет производные всех порядков, причем Поэтому ряд Маклорена для этой функции будет иметь вид

Его сумма тождественно равна 0 и, следовательно, не совпадает с данной функцией.

Выясним теперь, при каких условиях сумма ряда Тейлора данной функции совпадает с функцией, для которой этот ряд составлен. Запишем частичную сумму ряда Тейлора

Эта частичная сумма называется многочленом Тейлора степени . Рассмотрим разность между функцией и ее многочленом Тейлора степени п. Эта разность называется остаточным членом ряда Тейлора и обозначается через

Теорема. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в точке а функция являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член стремился к нулю при

Доказательство. Условие необходимо. Пусть есть сумма ряда Тейлора, т. е. . Тогда из формулы (83) следует, что

Условие достаточно. Пусть Тогда из формулы (83) следует, что , т. е. что . А это и значит, что есть сумма ряда.

Эта теорема показывает, что для исследования вопроса о разложимости функции в ряд Тейлора нужно исследовать поведение его остаточного члена при . Если для данного значения , то сумма ряда Тейлора равна значению функции в точке Если не стремится к нулю, то ряд Тейлора либо расходится, либо его сумма при не совпадает со значением функции в данной точке .

Найдем, какой вид имеет остаточный член . Из формулы (83) имеем

Подставляя в последнее соотношение выражение для получим

Будем искать остаточный член в виде

где величина Q подлежит определению.

Тогда формулу (84) можно переписать в виде

Зафиксируем Тогда Q будет иметь некоторое числовое значение. Для нахождения Q составим вспомогательную функцию

Полагая получим, очевидно, что Принимая во внимание равенство (86), убеждаемся, что и Найдем производную от по переменной t, полагая при этом, что постоянно:

или, после упрощений,

Итак, на сегменте функция дифференцируема и на концах сегмента обращается в нуль. Следовательно, она удовлетворяет условиям теоремы Ролля (см. гл. VI, § 6, п. 2). Поэтому существует такое значение заключенное между а и х, для которого производная обращается в нуль: , т. е.

Из последнего соотношения находим

Подставляя найденное значение Q в равенство (85), получим

где с заключено между а и х.

Выражение остаточного члена по формуле (87) называется остаточным членом в форме Лагранжа.

В частном случае при получим выражение остаточного члена для ряда Маклорена

где с содержится между

Приведенные виды остаточного члена во многих случаях позволяют легко исследовать его поведение при .

Принимая во внимание соотношение (86) и выражение (87) для остаточного члена, получим

где с заключено между а и х.

Формула (89) называется формулой Тейлора, а ее частный случай при называют формулой Маклорена где с заключено между х.