6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу

Пусть дано дифференциальное выражение причем Р и Q непрерывны вместе со своими частными производными и во всей плоскости или в некоторой односвязной области G. Выясним прежде всего, при каких условиях данное дифференциальное выражение является полным дифференциалом некоторой функции. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы дифференциальное выражение в односвязной области G было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы в области G выполнялось условие

Доказательство. Необходимость. Если есть полный дифференциал, то существует функция , для которой

Следовательно, Продифференцировав первое равенство по у, а второе — по получим Так как вторые смешанные производные непрерывны (в силу предположения о непрерывности и то они равны друг другу

Следовательно,

Достаточность. Пусть в области G выполнено соотношение (50). Покажем, что существует функция , для которой или, что то же самое, Из условия (50) следует (см. теорему 2 предыдущего пункта), что криволинейный интеграл § не зависит от пути интегрирования, а зависит только от положения начальной точки А и конечной точки В. Поэтому, если мы зафиксируем точку А, то значение криволинейного интеграла будет зависеть только от положения точки В, т. е. интеграл будет функцией координат точки В. Пусть координаты точки — координаты точки В. Обозначим через криволинейный интеграл, взятый по произвольной кривой, соединяющей точки

Рис. 258

Этот интеграл является функцией от х и у, которую обозначим через

Покажем, что в каждой точке области G полный дифференциал этой функции равен . Для этого достаточно показать, что в любой точке области G имеют место равенства . Итак, пусть - произвольная фиксированная точка области О. Найдем частную производную по от функции в точке В. Сохраняя у постоянным, сместимся из точки В в точку с координатами (рис. 258). Значение функции в точке равно значению криволинейного интеграла вдоль любого пути, соединяющего точку А с точкой т. е.

Частное приращение функции при переходе из точки В в точку

Так как криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то для вычисления криволинейных интегралов в последнем равенстве можно брать произвольные пути. Возьмем в качестве пути, соединяющего точки А и В, произвольную кривую лежащую в области G, а в качестве пути, соединяющего точки возьмем кривую и отрезок (см. рис. 258). Тогда

Криволинейный интеграл, стоящий в правой части равенства (51), легко выразить через определенный интеграл. Для этого напишем параметрические уравнения отрезка где t меняется в границах от а у постоянен. Так как то по правилу вычисления криволинейного интеграла получим

Итак,

Замечая, что при постоянном у является функцией одной переменной применим к последнему интегралу теорему о среднем значении:

где содержится между . Разделив на и переходя к пределу при получим частную производную

При стремится к . В силу непрерывности функции имеем .

Таким образом, в точке . Аналогично доказывается, что в этой же точке . Так как — произвольная точка, то для любой точки области G имеем и, следовательно, . Итак, криволинейный интеграл есть та функция, полный дифференциал которой равен Таким образом, теорема полностью доказана.

Введем теперь следующее определение:

Функция , полный дифференциал которой равен диффе ртциалъному выражению называется первообразной от этого выражения.

Следовательно, криволинейный интеграл является первообразной от дифференциального выражения

При нахождении первообразной можно взять любую линию, соединяющую точки , так как криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Для того чтобы не смешивать координаты точки с переменными интегрирования, обозначим последние буквами . Тогда выражение для можно переписать следующим образом:

Рис. 259

Для упрощения вычислений целесообразно в качестве пути интегрирования взять ломаную АСВ со сторонами АС и СВ, соответственно параллельными координатным осям (рис. 259). Тогда Уравнения отрезка АС можно записать следующим образом: причем параметр I меняется от до Заметим, что при интегрировании по отрезку АС интеграл равен нулю, так как вдоль этого отрезка постоянна и, следовательно, Поэтому

Уравнения отрезка СВ таковы: причем параметр t меняется от до у. Так как вдоль этого отрезка постоянно, Поэтому

Итак,

Ясно, что если есть первообразная от некоторого дифференциального выражения, то также является первообразной. Можно показать, что любая первообразная может быть представлена в виде .

Пример. Найти первообразную от дифференциального выражения

Решение. Здесь . Так как то условие выполнено во плоскости Следовательно, За начальную точку возьмем начало координат. Тогда по формуле (53) получим

Итак, одной из первообразных будет функция Пусть выражение имеет первообразную

Рассмотрим криволинейный интеграл где — соответственно начальная и конечная точки пути интегрирования. Очевидно,

Но

и

Таким образом, если дифференциальное выражение имеет первообразную, то криволинейный интеграл равен разности значений первообразной в конечной и начальной точках пути интегрирования.

Формула (54) аналогична формуле Ньютона—Лейбница для определенного интеграла.

Рассмотрим силовое поле заданное в некоторой области G плоскости Силовое поле называется потенциальным, если существует такая функция , градиент которой равен

Функция называется потенциальной функцией или потенциалом.

Из равенства (55) следует, что т. е. потенциал есть первообразная от дифференциального выражения и, следовательно,

На основании изложенного выше можно сказать, что силовое поле потенциально в некоторой односвязной области G тогда и только тогда, когда

Как мы знаем, работа Е силы F вдоль дуги АВ выражается через криволинейный интеграл: . В потенциальном поле работа, очевидно, не зависит от пути, соединяющего точки Применяя формулу (54), получим

Таким образом, в потенциальном поле работа равна разности потенциалов.

Пример. Рассмотрим материальную точку массы , на которую действует сила тяжести, равная . Допустим, что точка перемещается в вертикальной плоскости. Введем в этой плоскости систему координат направив ось вертикально вниз (к земле). Очевидно, . Здесь Так как , то следовательно, поле тяжести потенциально. Найдем потенциальную функцию . Так как то, очевидно, одной из потенциальных функций будет функция . Выражение для работы, совершаемой при перемещении массы из точки в точку получим по формуле (56)