2. Ряд Фурье

Рассмотрим функциональный ряд следующего вида

Числа называются коэффициентами ряда. Свободный член ряда записан в виде для единообразия получающихся в дальнейшем формул. Ряд (121) часто записывается также следующим образом:

Так как члены тригонометрического ряда (122) имеют общий период , то и сумма ряда, если он сходится, будет также периодической функцией с периодом .

Допустим, что функция есть сумма этого ряда:

В этом случае говорят, что функция разлагается в тригонометрический ряд. Предполагая, что ряд правильно сходящийся на сегменте , покажем, как определить его коэффициенты.

Так как правильно сходящийся на сегменте ряд можно почленно интегрировать на этом сегменте (см. § 2, п. 2), то

Но так как (см. формулы (120), то

Отсюда

Пусть теперь - натуральное число. Для нахождения коэффициента умножим ряд (122) почленно на . Полученный ряд

в силу теоремы 5 § 2, п. 2, будет правильно сходящимся на сегменте . Интегрируя его почленно, получим

Вследствие равенств (117) и (118) под знаком суммы отличным от нуля будет только один интеграл при

Так как по формуле (120) , то равенство (123) запишется в виде

откуда

Аналогично, умножая обе части равенства (122) на и интегрируя в пределах от — я до я, на основании равенств (118), (119) и (120) найдем выражения для коэффициентов

Таким образом, если периодическая функция y = f(x) с периодом является суммой правильно сходящегося на сегменте тригонометрического ряда (122), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам:

По этим формулам можно вычислить все коэффициенты ряда для любого натурального k. Коэффициенты ряда, определенные по этим формулам, называются коэффициентами Эйлера — Фурье.

Тригонометрический ряд

коэффициенты которого определяются по формулам Эйлера — Фурье (124), называется рядом Фурье соответствующим функции

Таким образом, если периодическая функция является суммой правильно сходящегося тригонометрического ряда, то этот ряд является ее рядом Фурье.