7. Площадь поверхности вращения

Определим площадь поверхности, образованной вращением дуги АВ кривой относительно оси Будем предполагать, что на сегменте функция и ее производная непрерывны и, кроме того,

Рассмотрим на дуге АВ точку М с абсциссой . Длина дуги AM определится по формуле

Подынтегральная функция здесь положительна, и поэтому функция возрастающая (см. § 2, п. 3, замечание 2). Кроме того, в п. 6 уже упоминалось, что функция дифференцируема (а значит, и непрерывна) на сегменте . Следовательно, существует обратная непрерывная функция (см. гл. V, § 2, п. 4). Но тогда также будет непрерывной функцией I. Таким образом, кривая на сегменте может быть задана параметрически

причем параметром является длина дуги , где - длина всей дуги АВ.

Разобьем дугу АВ точками на дуг и обозначим длины этих дуг соответственно через Поверхность вращения при этом также разобьется на части, имеющие соответственно площади

При малом шаге разбиения каждая из этих частичных поверхностей по форме мало отличается от боковой поверхности усеченного конуса (рис. 195).

Рис. 195

Площадь боковой поверхности усеченного конуса, равная произведению длины окружности среднего сечения на образующую , дает приближенное значение если принять где - значение параметра I, соответствующее среднему сечению.

Таким образом,

Площадь S всей поверхности вращения равна сумме площадей частичных поверхностей Следовательно,

За точное значение S принимаем по определению предел интегральной суммы (59):

или

Сделаем в интеграле (60) замену переменной, перейдя от переменной интегрирования I к переменной . Эти переменные связаны формулой (57). Найдем новые границы интегрирования: при имеем при имеем Далее, так как то из формулы (60) получим

или, в сокращенной записи,

Пример. Найти площадь поверхности вращения дуги синусоиды

Решение. По формуле (62) получим

Сделаем замену переменных, положив . Тогда и, следовательно,

(см. гл. VII, § 5, п. 3).