3. Абсолютная величина действительного числа

Абсолютной величиной (модулем) действительного числа называется само это число, если или число если . Абсолютная величина действительного числа обозначается символом . Таким образом:

Так, например, . Модуль любого действительного числа либо положителен (если число не равно нулю), либо равен нулю (если само число равно нулю). Отсюда следует, что любое действительное число не больше своего модуля, т. е.

Равенство будет иметь место при , а неравенство при (так как в последнем случае число х отрицательно, а его модуль положителен).

Исходя из определения абсолютной величины действительного числа, легко выяснить ее геометрический смысл: абсолютная величина действительного числа х равна расстоянию точки от начала. Например, точка (см. рис. 2, а) находится от начала на расстоянии, равном точка расстоянии, равном , и т. д.

Пользуясь геометрическим смыслом абсолютной величины, легко установить, что при любом неравенство равносильно неравенствам .

Действительно, неравенство означает, что точка отстоит от начала на расстоянии, меньшем , т. е. (рис. 2, б). Обратно, если , то точка находится от начала на расстоянии, меньшем , а это значит, что .

Абсолютные величины действительных чисел обладают свойствами, изложенными в следующих теоремах.

Теорема 1. Абсолютная величина суммы двух действительных чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел:

Доказательство. Предположим вначале, что . Тогда . Но . Следовательно, .

Предположим теперь, что . В этом случае . Но . Отсюда .

Замечание. Теорему 1 можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2. Абсолютная величина разности двух действительных чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел:

Доказательство. Так как то по теореме 1 получим , откуда

Теорема 3. Абсолютная величина произведения нескольких действительных чисел равна произведению абсолютных величин этих чисел:

Теорема 4. Абсолютная величина частного двух действительных чисел равна частному абсолютных величин этих чисел:

Теоремы 3 и 4 непосредственно следуют из определения абсолютной величины и действий умножения и деления.

Замечание. В дальнейшем, как правило, будут рассматриваться числа действительные. Поэтому для краткости они часто будут просто называться числами. Если же потребуется рассмотреть комплексные числа, то всякий раз будет сделана особая оговорка.