6. Основные теоремы о пределах

В этом пункте мы приведем некоторые теоремы о правилах предельного перехода, которые, как мы увидим в дальнейшем, облегчат нахождение пределов. При этом заметим, что как формулировки, так и доказательства этих теорем для случаев совершенно аналогичны. Поэтому, для определенности, мы приведем их только для случая

Прежде всего установим связь между функцией, имеющей предел, и бесконечно малой функцией. Эта связь отражена в содержании следующих двух теорем.

Теорема Если функция имеет предел (при ), равный то ее можно представить как сумму числа b и бесконечно малой функции (при ).

Доказательство. Пусть . Рассмотрим разность

и покажем, что - есть бесконечно малая функция (при Так как то для любого существует такое N, что для всех Но тогда и для . А это значит, что а бесконечно малая функция. Из равенства (9) находим Таким образом, теорема доказана.

Теорема 2 (обратная). Если функцию можно представить как сумму числа b и некоторой бесконечно малой функции (при ), то число b является пределом функции f(x) (при )

Доказательство. По условию где бесконечно малая функция (при ). Покажем, что

Действительно, Так как бесконечно малая функция, то для произвольного найдется такое число N, что для имеет место неравенство

Но так как то для . А это означает, на основании определения предела, что

Пример 1. Доказать, что

Решение. Так как функции — и бесконечно малые при то как бесконечно малых функций, есть функция бесконечно малая. Функция есть сумма числа 5 и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 2

Перейдем теперь к выводу правил предельного перехода,

Теорема 3. Если то функции тоже имеют пределы при причем

т. е. предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.

Доказательство. На основании теоремы 1 функции можно представить в виде: где - функции бесконечно малые при Но тогда

На основании теоремы 1, п. 4 сумма а является бесконечно малой функцией. Равенство (10) показывает, что функция представлена как сумма числа с и бесконечно малой функции а Следовательно, на основании теоремы 2 настоящего пункта, число b с является пределом функции Итак,

В случае разности функций доказательство аналогично.

Замечание. Теорема 3 справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Теорема 4. Если функция имеет предел при причем

т. е. предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

Доказательство. На основании теоремы 1 имеем

где и - функции, бесконечно малые при

Следовательно,

Функция является бесконечно малой, как сумма трех бесконечно малых функций (см. п. 4, следствия из теоремы 4). Равенство (11) показывает, что функция представлена как сумма числа и бесконечно малой функции Следовательно, на основании теоремы 2, число является пределом функции Итак,

Следствие из теоремы 4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.

где - постоянный множитель.

Доказательство. В самом деле,

так как

Теорема 4 справедлива для любого конечного числа сомножителей. В частности, если эти сомножители равны между собой, то имеем:

Это кратко формулируют так: предел степени равен степени предела.

Теорема 5. Если , то имеет предел при причем т. е. предел дроби пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю.

Доказательство. По теореме где бесконечно малые функции при Рассмотрим разность

Дробь стоящая в правой части равенства (12), по теореме 5, п. 4, является бесконечно малой функцией, так как числитель этой дроби является бесконечно малой функцией, а знаменатель по теореме 2 имеет предел .

Из равенства (12) имеем

Поэтому, на основании теоремы имеет при предел, равный

Теоремы о пределах суммы, произведения и частного облегчают нахождение пределов.

Пример 1. Найти предел функции при Решение. Имеем

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе суммы.

Далее, так как предел степени равен степени предела,

Замечая, наконец, что , получим

Пример 2. Найти .

Решение. Так как

а предел знаменателя

то, применяя теорему о пределе дроби, получим

Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто, прежде чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Как это делается, мы покажем на конкретных примерах.

Пример 3. Найти

Решение. Здесь непосредственно теорему о пределе дроби применить нельзя, так как предел знаменателя при равен нулю:

Кроме того, числитель дроби имеет предел, также равный нулю. Поэтому нахождение предела этой дроби сводится, как говорят, к раскрытию неопределенности Для этого преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители:

Разделим числитель и знаменатель дроби на . Это сокращение допустимо, так как при разыскании предела рассматриваются значения (см. замечание 1 на стр. 167).

Итак, для всех значений имеет место тождество

Поэтому пределы этих функций равны между собой:

Пример 4. Найти

Решение. Здесь непосредственно нельзя применить теорему о пределе дроби, так как ни числитель, ни знаменатель дроби не имеют предела при одновременно стремясь к бесконечности. Таким образом, мы здесь имеем дело с неопределенностью вида Для того чтобы найти предел данной дроби, предварительно преобразуем ее, разделив числитель и знаменатель на дробь от этого не изменит своей величины, а следовательно, и своего предела.

После этого преобразования предел уже найти легко:

Пример 5. Найти

Решение. Для того чтобы и здесь можно было применять теорему о пределе частного, разделим числитель и знаменатель на

Пример 6. Найти

Решение. Так как предел обратной дроби , то она является бесконечно малой функцией при Следовательно, данная дробь, на основании теоремы 2, п. 5, бесконечно большая функция:

Обобщая разобранные примеры, можно сделать следующий вывод: При предел отношения двух многочленов одинаковых степеней равен отношению коэффициентов при старших степенях Если же степени многочленов не равны, то предел их отношения равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя, и равен бесконечности, если степень числителя больше степени знаменателя.

В заключение этого пункта укажем еще на две теоремы о пределах.

Теорема 6. Пусть даны три функции удовлетворяющие неравенствам для достаточно больших значений Если функции имеют один и тот же предел при то и функция заключенная между ними, имеет предел, равный пределу функций

Доказательство. Дано Требуется доказать, что Доказательство теоремы ясно из рис. 110.

Действительно, так как функции имеют при пределом число b, то, каково бы ни было найдется такое число N, что для графики функций одновременно будут лежать внутри полосы, ограниченной прямыми Но тогда и график функции лежащий между графиками функций для попадет внутрь этой же полосы. А это и значит, что

Теорема 7. Если функция для всех достаточно больших значений и при имеет предел, то этот предел не может быть отрицательным.

Доказательство. Предположим противное, т. е. что . Тогда, каково бы ни было найдется такое число N, что график функции для попадет внутрь полосы, ограниченной прямыми .

Рис. 110

Рис. 111

Взяв столь малым, чтобы эта полоса лежала ниже оси получим, что для график будет лежать ниже оси и его точки, следовательно, будут иметь отрицательные ординаты. А это противоречит тому, что для всех достаточно больших . Итак,