8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

В п. 2 этого параграфа был изложен метод приближенного построения интегральных кривых дифференциального уравнения первого порядка с помощью изоклин.

Рассмотрим теперь еще один приближенный метод нахождения частного решения уравнения, называемый методом Эйлера.

Идея метода Эйлера заключается в том, что интегральная кривая, являющаяся графиком частного решения, приближенно заменяется ломаной.

Рис. 274

Пусть дано дифференциальное уравнение (6)

и начальное условие

Требуется на сегменте приближенно построить интегральную кривую уравнения (6), проходящую через точку

Разобьем сегмент точками деления

на равных частей длины (рис. 274). Величина называется шагом разбиения сегмента. Пользуясь уравнением (6), вычислим в начальной точке интегральной кривой угловой коэффициент ее касательной: тогда уравнение касательной в точке будет иметь вид

Заменяя на сегменте искомую интегральную кривую отрезком этой касательной (см., рис. 274), найдем приближенное значение решения в точке

или, так как

Подставив значения в правую часть уравнения (6), найдем

На сегменте заменим приближенно интегральную кривую отрезком касательной, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент

Полагая в уравнении этой прямой , найдем приближенное значение искомого решения в точке

или, так как

Продолжая этот процесс, получим последовательно приближенные значения решения в точках . При этом значение функции в точке вычисляется через значение функции и ее производной в точке по формуле

Таким образом, мы получили приближенные значения искомого решения в точках и приближенно построили интегральную кривую в виде ломаной.

Замечание. Мы рассмотрели случай . Если , то формула (32) остается в силе, но в этом случае будет отрицательным.

Метод Эйлера является простейшим из методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Недостатком метода является малая точность. Очевидно, что ошибка, которая получается при замене интегральной кривой ломаной, зависит от числа точек разбиения сегмента . Можно показать, что ошибка при вычислении ординат пропорциональна

Пример. Составить на сегменте [1, 2] таблицу приближенных значений частного решения дифференциального уравнения у удовлетворяющего начальному условию . Шаг разбиения сегмента [1, 2] принять равным .

Решение. Согласно указанной схеме, вычисления значений решения выполняем по формуле (32). Все вычисления записываем в общей таблице и проводим с точностью до четвертого знака после запятой.

Столбец таблицы содержит приближенные значения функции в точках .