3. Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина (при условии, что эта величина больше расстояния между фокусами).

Рис. 44

Обозначим фокусы через расстояние между ними — через , а постоянную величину, равную сумме расстояний от каждой точки эллипса до фокусов, через (по условию ).

Построим декартову систему координат так, чтобы фокусы оказались на оси абсцисс, а начало координат совпало с серединой отрезка (рис. 44). Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: левый фокус и правый фокус . Выведем уравнение эллипса в выбранной нами системе координат. С этой целью рассмотрим произвольную точку эллипса. По определению эллипса сумма расстояний от этой точки до фокусов равна :

Пользуясь формулой для расстояния между двумя точками, получим следовательно,

Для упрощения этого уравнения запишем его в форме

Возведя затем обе части уравнения в квадрат, получим

или, после очевидных упрощений:

Теперь опять возводим обе части уравнения в квадрат, после чего будем иметь:

или, после тождественных преобразований:

Так как согласно условию в определении эллипса , то — число положительное. Введем обозначение

Тогда уравнение примет следующий вид:

или

По определению эллипса координаты любой его точки удовлетворяют уравнению (26). Но уравнение (29) является следствием уравнения (26). Следовательно, ему также удовлетворяют координаты любой точки эллипса.

Можно показать, что координаты точек, не лежащих на эллипсе, уравнению (29) не удовлетворяют. Таким образом, уравнение (29) есть уравнение эллипса. Оно называется каноническим уравнением эллипса.

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

Прежде всего обратим внимание на то, что это уравнение содержит только четные степени х и у. Это значит, что если какая-нибудь точка принадлежит эллипсу, то ему принадлежат также точка , симметричная с точкой относительно оси абсцисс, и точка симметричная с точкой относительно оси ординат. Таким образом, эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, которые в выбранной нами системе координат совпадают с координатными осями. Оси симметрии эллипса мы в дальнейшем будем называть осями эллипса, а точку их пересечения — центром эллипса. Та ось, на которой расположены фокусы эллипса (в данном случае ось абсцисс), называется фокальной осью.

Определим форму эллипса сначала в I четверти. Для зтого разрешим уравнение (28) относительно у:

Очевидно, что здесь , так как у при принимает мнимые значения. При возрастании от 0 до а у уменьшается от b до 0. Частью эллипса, лежащей в I четверти, будет дуга, ограниченная точками В (0; b) и лежащими на осях координат (рис. 45). Воспользовавшись теперь симметрией эллипса, приходим к заключению, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 45.

Рис. 45

Точки пересечения эллипса с осями называются вершинами эллипса. Из симметрии эллипса следует, что, кроме вершин , эллипс имеет еще две вершины (см. рис. 45).

Отрезки и соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длины , называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается обычно буквой :

Так как , то эксцентриситет эллипса меньше единицы: Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Действительно, из формулы (28) следует, Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем меньше его малая полуось b отличается от большой полуоси а, т. е. тем меньше вытянут эллипс (вдоль фокальной оси).

В предельном случае при получится окружность радиуса а: , или . При этом и фокусы эллипса как бы сливаются в одной точке — центре окружности. Эксцентриситет окружности равен нулю:

Связь между эллипсом и окружностью может быть установлена и с другой точки зрения. Покажем, что эллипс с полуосями а и b можно рассматривать как проекцию окружности радиуса а.

Рассмотрим две плоскости Р и Q, образующие между собой такой угол а, для которого (рис. 46). Построим в плоскости Р систему координат , а в плоскости Q — систему Оху с общим началом координат О и общей осью абсцисс, совпадающей с линией пересечения плоскостей. Рассмотрим в плоскости Р окружность

с центром в начале координат и радиусом равным а. Пусть -произвольно выбранная точка окружности, — ее проекция на плоскость Q и — проекция точки М на ось Ох. Покажем, что точка лежит на эллипсе с полуосями а и b.

Рис. 46

В самом деле, по построению . Кроме того, из треугольника имеем: откуда

Заменив в уравнении (31) X и Y их выражениями через получим

или

Мы видим, что координаты точки удовлетворяют уравнению эллипса с полуосями а и Это значит, что проекция любой точки окружности (31) принадлежит эллипсу. Легко видеть, что и обратно, любая точка эллипса есть проекция некоторой точки М (X; Y) окружности. Итак, эллипс есть проекция окружности.

Пример 1. Найти каноническое уравнение эллипса, зная его большую полуось и эксцентриситет

Решение. По условию . Следовательно, половина расстояния между фокусами . Но тогда квадрат малой полуоси эллипса . Таким образом, искомое каноническое уравнение эллипса имеет следующий вид:

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку и имеющего большую полуось

Решение. Каноническое уравнение эллипса при имеет следующий вид:

Этому уравнению должны удовлетворять координаты точки . Следовательно,

Найдя отсюда и подставив его в уравнение (32), получим искомое каноническое уравнение эллипса: