5. Длина дуги кривой

В элементарной геометрии измерялись длины прямолинейных отрезков, а также длина окружности и ее частей. За длину окружности принимался предел периметров правильных вписанных в окружность многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон. Обобщим это определение на случай любой кривой.

Пусть в пространстве задана дуга АВ (рис. 191). Разобьем ее точками на частей. Соединив соседние точки деления отрезками, получим ломаную, вписанную в дугу АВ. Эта ломаная состоит из звеньев совпадает с точкой А, а с точкой В.

Рис. 191

Примем для длин этих звеньев следующие обозначения: Тогда периметр этой ломаной

или, в сокращенной записи,

Очевидно, с уменьшением длин звеньев ; ломаной она по своей форме приближается к дуге АВ. Поэтому естественно ввести следующее определение.

Длиной l дуги АВ называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной, когда число ее звеньев неограниченно растет, а наибольшая из длин звеньев стремится к

При этом предполагается, что предел (47) существует и не зависит от выбора вписанных ломаных.

Кривые, для которых предел (47) существует, называются спрямляемыми. Мы сейчас покажем, что при выполнении некоторых ограничений, наложенных на кривые, этот предел всегда существует.

Рассмотрим сначала вопрос о длине дуги плоской кривой, заданной уравнением в явном виде.

Теорема. Пусть кривая АВ задана уравнением где непрерывная функция, имеющая непрерывную первую производную во всех точках сегмента .

Тогда дуга АВ имеет длину, равную

Доказательство. Разобьем дугу АБ точками на частей (рис. 192). Пусть эти точки имеют соответственно абсциссы причем

Впишем в дугу АВ ломаную Тогда периметр этой ломаной будет равен

где - длина звена

Рис. 192

Согласно формуле расстояния между двумя точками на плоскости

где Но по формуле о конечном приращении (гл. VI, § 6, п. 3), примененной к сегменту

Следовательно,

или

где

Поэтому периметр ломаной

Итак, периметр ломанной оказался равным интегральной сумме, составленной для функции Эта функция непрерывна на сегменте вследствие предположения о непрерывности Следовательно, по теореме существования определенного интеграла интегральная сумма (48) имеет предел, равный при условии, что шаг разбиения стремится к нулю.

Длина кривой I равна пределу периметра вписанной в нее ломаной при условии, что наибольшая из длин звеньев - стремится к нулю. Заметив, что при также и получим

Таким образом,

или, в сокращенной записи,

Пример 1. Вычислить длину дуги цепной линии для (см. гл. V, § 2, п. 6, рис. 128).

Решение. Находим Следовательно, . Применяя формулу (50), получим

Пусть теперь кривая задана параметрическими уравнениями При этом предположим, что функции и их производные непрерывны и Сделаем в интеграле формулы (49) замену переменной, положив Так как при этом то по правилу дифференцирования функции, заданной параметрически, найдем и, замечая, что получим

Следовательно,

где

Замечание. Формула (51) справедлива и в том случае, когда производная на сегменте либо отрицательна, либо не сохраняет знак.

Пример 2. Определить длину одной арки циклоиды

(см. рис. 139)

Решение. Так как , то

Применяя формулу (51), получим

Рассмотрим, как выражается длина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах предполагая, что непрерывны на сегменте . Эту кривую можно задать параметрически, принимая за параметр полярный угол Действительно, так как между декартовыми и полярными координатами существует зависимость то, принимая во внимание, что получим

Так как то, применяя формулу (51), получим

После очевидных упрощений получим

Пример 3. Найти длину кардиоиды (см. рис. 31). Решение. Кардиоида симметрична относительной полярной оси.

Изменяя полярный угол от 0 до мы получим по формуле (52) половину длины кардиоиды:

Вся длина кардиоиды

Можно показать, что для длины дуги пространственной кривой, заданной уравнениями имеет место формула, аналогичная формуле (51):

Пример 4. Определить длину одного витка винтовой линии: (см. рис. 140).

Решение. Применяя формулу (53) для длины пространственной кривой, имеем